选修4-5-证明不等式的基本方法-综合法与分析法

2020年3月8日星期日不等式的证明第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法二、综合法与分析法例1.已知a,b,c0,且不全相等，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc分析：观察待证不等式的特点与重要不等式：a2+b2≥2ab有关所以证明可以从这个重要不等式出发，再结合不等式的性质推出.这就是综合法22220,2,()2,abcbcabcabc2222()2,()2,bcaabccababc同理三式相加,即得要证的不等式．,,,abc不全相等以上三式中至少有一个不取等号,综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法综合法的“入手处”是一些重要的不等式：22(3),,222abRababababab若则22(1)2abab333(2),,,3abcRabcabc则3(4),,,3abcRabcabc若则222(5)abcabbcca例2.已知a1,a2,...,an∈R+,且a1a2...an＝1，求证(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n分析：观察要证明的结论，可以联想到是由n个同向不等式相乘得到.由基本不等式得：112iiaa再由条件：a1a2...an＝1可得结论例2.已知a1,a2,...,an∈R+,且a1a2...an＝1，求证(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n0(1,2,,),iain证:所以有1112,aa2212,aa12,nnaa1212(1)(1)(1)22nnnnaaaaaa各式相乘得11iiiaaa当且仅当时,取等号，12naaa原式在时取等号．变式练习：,,,11111118abcRabcabc已知且，求证：1211,abcbcbcaaaa分析:12121,1,acabbbcc同理三式相乘即得要证的不等式．22222222,,,,,3.2abcdRabmcdnmnacbd已知求证：例且:acbdacbd分析①点评：瞄准目标进行拆分与组合222acacac又　　②222bdbdbd③由①立即可得要证的不等式．②③,*n1111(1)1123nNnnn若，求证变式:分析：观察不等式的特点——联想n维均值不等式关键：将右边的1移至左边并进行“均分”1111(1)1231111[(1)]231111[(11)(1)(1)(1)]23nnnnnnn再用均值不等式即可达到目标1111(1)1231111[(11)(1)(1)(1)]23nnnn证:1341[2]23nnn34121,23nnnnn*n1111(1)1123nNnnn若，求证变式:原不等式成立123123nnnaaaaaaaan≥课堂练习:1.已知a,b,c不全相等，且a+b+c=3,求证：a2+b2+c23证：由已知得(a+b+c)2=9即:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=9①∵a2+b2≥2ab,由①和②得93(a2+b2+c2),即a2+b2+c23．又a,b,c不全相等,∴2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca②b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ca以上三式相加得2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca小结：作业:P25－1,2,7,8222.,1abababab设是实数，求证：．3.0,1,lglog102,lglog102xxxxxx已知且求证：或课堂练习综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：12ABBB(A为证明过的不等式,B为要证的不等式）即综合法是：由因导果分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法71.236例求证2736因为和都证:是正数，2736要证222736只需证92149218即证214218只需证1418只需证1418只需证因为1418成立，2736所以成立.例2.已知a0,b0,2ca+b.求证：22ccabaccab分析：原不等式等价于22cabaccab2accab222accab2222aacccab2(2)aacb又a0所以，只需证：a2c-b即：a+b2c由题设知a+b2c成立,∴原不等式得证.222222,,3.0,abcabbcacabcabc已知求证例222222222222,,0,abcabbcacabcabcabbcacabcabc分析：2222222222abbcacabcabc222222222222222()()()222abbcbcacabacabcabcabc222222,,3.0,abcabbcacabcabc已知求证例2222222,,0,()()2abcabbcabbcabc可证:得①2222222()()2bcacbcacabc②2222222()()2abacabacabc③,得[①+②+③]22222220,abbcacabcabcabc222222abbcacabcabc,,,,amaabmabbmb1.已知都是正数且求证．,,,amaabmbmb都是正数要证证:，()()ambabm只需证，abbmabam即证，bmam即证，ba只需证．ba因为成立，amabmb所以成立课堂练习2.证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.2,,,22LLL设周长都为则圆的半径为面积证为:2,44LL正方形的边长为其面积为．22,24LL根据题意本题要证，222164LL为证上式,只需证，11,4即证4.要证22,.24LL上式显然成立不等式得证这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大．课堂练习2222,,,,abcdRacbdabcd3.已知求证．222220,acbdacbdabcd若则只需证，22220,0acbdabcd若，原不证:等式成立．2222222222222acbdabcdacbdadbc要证，22222abcdadbc即证20adbc要证，原不等式得证．上式恒成立，课堂练习1,112.cccc4.已知求证22(11)(2),ccc只需证212114,cccc即证21,cc要证1,10,10,ccc证:112ccc要证，221,cc于是要证10.即证上式显然成立，原不等式得证．课堂练习作业：P26－3,4,5,6,9分析法的思路是“执果索因”，未知⇒已知即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。小结:(1)法常用于比较法，综合法难于入手的题型．(2)分析法的优点是利于思考，因为它方向明确思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清楚,形式简洁，因而证不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程．解:设f(x)=(1+x)n－(1+nx)，则f´(x)=n(1+x)n-1－n＝n［(1+x)n-1－1］.由f´(x)=0得x=0,于是当x∈(-1，0)时,f´(x)0，f(x在(-1,0)上递减.当x∈(0,+∞)时,f´(x)0，f(x)在(0,+∞)上递增.∴当x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x)≥0．∴(1+x)n≥1+nx.例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较(1+x)n与1+nx的大小.例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较(1+x)n与1+nx的大小.解:设t=1+x,则t0,(1+x)n-(1+nx)=tn－nt＋n－1(﹡)再设f(t)=tn-nt+n-1,则f´(t)=ntn-1－n＝n(tn-1－1］.当t∈(0，1)时,f´(t)0，f(t)在(0,1)上递减.当t∈(1,+∞)时,f´(t)0，f(t)在(1,+∞)上递增.∴当t=0时，f(t)最小，最小值为0，即f(t)≥0．∴tn－nt＋n－1≥0,由(﹡)式即得(1+x)n≥1+nx.