点到直线的距离公式的推导过程及其应用

1点到直线的距离公式的推导过程一、公式的导出设点0:),(000CByAxlyxP为已知直线外一点，如何求它到该直线的距离？解：设过点的到点，垂足为垂直的直线为且与已知直线lPyxDllP0/0),,(.0DPdd，则距离为202022000220002200222002000000/)()()()(;00,0),(;,0/yyxxdBACByAxByyBACByAxAxxBABCABxyAyBAACAByxBxBxAyAyBxCByAxBxAyAyBxxxAByyABkllBAkCByAxll，，，得：，，由即，代入点斜式，得：，所以，又因为由y0P0D0:CByAxl/ldx2.)()()(2200222002220022200BACByAxBACByAxBACByAxBBACByAxA即，直线外一已知点0P到已知直线l的距离公式为：.2200BACByAxd二、公式的应用（一）求点到直线的距离：例1、）到下列直线的距离：，（求点21P⑴0543yx；⑵53x；⑶.1y分析：应用点到直线的距离公式时应该把直线方程化为一般式．解⑴式，得根据点到直线的距离公：.56)4(3524)1(322d⑵，得：将直线方程化为一般式.053x式，得根据点到直线的距离公：.3803520)1(322d⑶，得：将直线方程化为一般式.01y式，得根据点到直线的距离公：.310121)1(022d评析：当已知直线与x(或y)轴平行时，用几何意义来解会更简洁．3（二）求两平行直线间的距离：例2、之间的距离．和求两平行直线04320632yxyx分析：因为两平行直线间的距离处处相等，所以，我们可以在其中的某条直线上任取一点P（一般是取其与坐标轴的交点），则两平行直线间的距离即为点P到另外那条直线的距离．解：在直线），则：，（轴的交点上取其与020432Pxyx．131310)3(26032222d（三）证明两平行直线的距离为：与ＡＡ２001CByxCByx．2221BACCd证明：如图所示，设,,,122222DlPlyxP作垂线，垂足为向过点.2dDP距离的长即为两平行线间的则，垂线段.,,,,0:,222122222222122原命题成立即得由点到直线的距离公式BACCdCByAxCByAxBACByAxd三、课堂练习1、求点（2,1）到直线0543yx的距离．yx0dDP20:11CByAxl0:22CByAxl42、求点（1,-2）到直线的距离．3yx3、求直线0742yx和直线之间的距离．62yx附答案：1、57d；2、0d；3、．10519d四、课后练习1、求下列点到直线的距离：⑴01243)23(yxA，，；⑵033)11(yxB，，；⑶．，0)2,1(yxC2、求下列各平行线间距离：⑴016320632yxyx与；⑵．与02230423yxyx3、在y轴上，求与直线的点．的距离等于1031xy附答案：1、⑴511；⑵21；⑶．2232、⑴131322；⑵13136．３、．，和，310100310100五、课后作业练习册距离公式》．之练习七《点到直线的21P