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2017数列拔高训练1、已知数列{an}满足a1=﹣2，an+1=2an+4．(1)证明数列{an+4}是等比数列并求出{an}通项公式；(2)若，求数列{bn}的前n项和Sn．2、已知数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1(1)求数列{an}和{bn}的通项公式(2)设cn=an+bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Sn．3、（理科答）已知数列{an}及等差数列{bn}，若a1=3，an=an﹣1+1（n≥2），a1=b2，2a3+a2=b4，(1)证明数列{an﹣2}为等比数列；(2)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；(3)设数列{an•bn}的前n项和为Tn，求Tn．4、已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足，2Sn=an（an+1）．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{}的前n项和为An，求证：对任意正整数n，都有An＜成立；(3)数列{bn}满足bn=（）nan，它的前n项和为Tn，若存在正整数n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+﹣2n﹣1成立，求实数λ的取值范围．5、设正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足．(1)计算a1，a2，a3的值，并猜想{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．6、数列{an}的前n项和是Sn，a1=5，且an=Sn﹣1（n=2，3，4，…）．(1)求Sn；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求证：+++…+＜．7、已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=30，过点P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1）(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意n∈N*，都有Tn．8、已知函数，数列{an}满足．(1)求证：数列{}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．9、各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p（p∈R）(1)求常数p的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)记bn=，求数列{bn}的前n项和T．10、已知数列{an}满足：a1=，a2=，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N•），数列{bn}满足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{bn}的前n项和为Sn．(1)求证：数列{bn﹣an}为等比数列；(2)求证：数列{bn}为递增数列；(3)若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．11、已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列．(1)求{an}的首项和公比；(2)设Sn=a12+a22+…+an2，求Sn．12、已知f（x）=3x2﹣2x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．13、已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，点（n，Sn）恒在函数y=x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Tn=，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围；(3)设Kn为数列{bn}的前n项和，其中bn=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．14、已知等差数列{an}的各项均为正数，且Sn=++…+，S2=，S3=．设[x]表示不大于x的最大整数（如[2.10]=2，[0.9]=0）．(1)试求数列{an}的通项；(2)求T=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2（﹣1）]+[log2（）]关于n的表达式．15、已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和为Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*）(1)试求数列{an}的通项公式(2)令bn=，Tn是数列{bn}的前n项和．证明：对任意给定的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得当n≥n0时，Tn＞m恒成立．16、已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an﹣3（﹣1）n（n∈N*）．(1)若bn=a2n﹣1，求证：bn+1=4bn；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a1+2a2+3a3+…+nan＞λ•2n对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．17、已知等差数列{an}，a2=8，前9项和为153．(1)求a5和an；(2)若，证明数列{bn}为等比数列；18、一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2，…，n）．(1)求数列{ak}的通项公式；(2)当k为何值时，ak的值最大，求出ak的最大值．19、已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（I）求{an}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．20、数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．21、已知数列{an}满足a1=1，an+1=．（Ⅰ）求证：an+1＜an；（Ⅱ）求证：≤an≤．22、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn（n∈N*），数列{bn}满足b1=，b2=，对任意n∈N+，都有bn+12=bn•bn+2（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）设{anbn}的前n项和为Tn，若Tn＞对任意的n∈N+恒成立，求λ得取值范围．23、已知数列{an}是非常值数列，且满足an+2=2an+1﹣an（n∈N*），其前n项和为sn，若s5=70，a2，a7，a22成等比数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列的前n项和为Tn，求证：．24、数列{an}中，．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．25、设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．26、已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，Sn=+++…+，求Sn；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=，Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．答案解析部分一、综合题1、【答案】（1）证明：∵a1=﹣2，∴a1+4=2，∵an+1=2an+4，∴an+1+4=2an+8=2（an+4），∴，∴{an+4}是以2为首项，2为公比的等比数列，由上知，∴．（2）解：∴，①，②②﹣①得：==2+2n+1﹣2﹣（n+1）×2n+1=﹣n•2n+1．【考点】数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）利用已知条件转化求解数列{an+4}是等比数列，然后求出{an}通项公式．（2）化简数列通项公式bn，利用错位相减法求和求解即可．2、【答案】（1）解：设数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列，由a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1，可得q﹣（1+2d）=2q2，1+2d﹣2q=﹣1，解得d=﹣，q=，可得an=a1+（n﹣1）d=1﹣（n﹣1）=（3﹣n）；bn=b1qn﹣1=（）n﹣1，n∈N*（2）解：cn=an+bn=（3﹣n）+（）n﹣1，可得数列{cn}的前n项和Sn=n（1+）+=﹣n2+n﹣+2【考点】数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是各项均为正数且公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求出cn=an+bn=（3﹣n）+（）n﹣1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．3、【答案】（1）证明：a1=3，an=an﹣1+1（n≥2），an﹣2=（an﹣1﹣2），则数列{an﹣2}为首项为1，公比为的等比数列（2）解：（由（1）可得an﹣2=（）n﹣1，即为an=2+（）n﹣1，a1=b2=3，2a3+a2=b4=2（2+）+2+=7，可得等差数列{bn}的公差d==2，则bn=b2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1（3）证明：数列{an•bn}的前n项和为Tn，an•bn=[2+（）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）•（）n﹣1，设Sn=1•（）0+3•（）+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，Sn=1•（）+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，相减可得，Sn=1+2[（）+（）2+（）3+…+（）n﹣1]﹣（2n﹣1）•（）n=1+2[]﹣（2n﹣1）•（）n，化简可得Sn=6﹣，则Tn=2•n（1+2n﹣1）+6﹣=2n2+6﹣【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1）an=an﹣1+1的两边减2，再由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列和等差数列的通项公式，计算即可得到；（3）求得an•bn=[2+（）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）•（）n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．4、【答案】（1）解：，当n≥2时，，两式相减得：，所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0．因为数列{an}为正项数列，故an+an﹣1≠0，也即an﹣an﹣1=1，所以数列{an}为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为an=n，n∈N*（2）解：=，所以对任意正整数n，都有成立（3）解：易知，则，①，，②①﹣②可得：．故，所以不等式成立，若n为偶数，则，所以．设，则y=﹣2t+t2+1=（t﹣1）2在单调递减，故当时，，所以；若n为奇数，则，所以．设，则y=2t﹣t2﹣1=﹣（t﹣1）2在（0，1]单调递增，故当t=1时，ymax=0，所以λ＜0．综上所述，λ的取值范围λ＜0或【考点】数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{an}的通项公式，（2）=＜=﹣，利用放缩法即可证明，（3）先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和为Tn，不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+﹣2n﹣1成立，转化为成立，分n为偶数和奇数，根据函数的性质即可求出实数λ的取值范围5、【答案】（1）解：当n=1时，，得a1=1；，得a2=2，，得a3=3，猜想an=n（2）解：证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立，（ⅱ）假设当n=k时，ak=k，则当n=k+1时，=，整理得：，即[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，结合an＞0，解得ak+1=k+1，于是对于一切的自然数n∈N*，都有an=n【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（1）利用递推关系式求解数列a1，a2，a3的值，猜想{an}的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可．6、【答案】（1）解：由an=Sn﹣1，①，得：an+1=Sn，②②﹣①得：an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，即an+1=2an，（n≥2且n∈N*），∵a2=S1=a1=5，故数列从第二项起，各项成等比数列且公比为2．∴，n∈N*（2）解：当n=1时，a1=5，当n≥