题型最全的递推数列求通项公式的习题

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1)(1nfaann解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。变式:已知数列1}{1aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。例2:已知31a，nnanna23131)1(n，求na。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn类型3qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.变式:（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na_______________变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列{bn}滿足12111*444(1)(),nnbbbbnanN证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232nnaaannnNaaa类型4nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。例:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT类型5递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts解法二(特征根法)：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,，求数列na的通项公式。例:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。变式:1.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（III）若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na3.已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和。类型6递推公式为nS与na的关系式。(或()nnSfa)解法：这种类型一般利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例：已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公式na.（2）应用类型4（nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq））的方法，上式两边同乘以12n得：22211nnnnaa由1214121111aaSa.于是数列nna2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以nnann2)1(22212nnna变式:（2006，陕西,理,20新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3,23,1),3()21(211SSnn且求数列{an}的通项公式.类型7banpaann1)001(，a、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1yxnapynxann，与已知递推式比较，解出yx,,从而转化为yxnan是公比为p的等比数列。例:设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛na｝中，11122nnanaa、点（、）在直线y=x上，其中n=1,2,3…新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(Ⅰ)令是等比数列；求证数列nnnnbaab,31(Ⅱ)求数列的通项；na(Ⅲ)设分别为数列、nnTS、nanb的前n项和,是否存在实数，使得数列nnSTn为等差数列？若存在试求出新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆不存在,则说明理由.类型8rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛na｝中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数na.),4(21,110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列}{na的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=211nnaa，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+132nT=1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆类型9)()()(1nhanganfannn解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为qpaann1。例：已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！2、若数列的递推公式为11113,2()nnanaa，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{na}满足2,11na时，nnnnaaaa112，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛an｝中，a1=1，a1n=22nnaan∈N，求通项an．类型10hraqpaannn1解法：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx,当特征方程有且仅有一根0x时,则01nax是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x、2x时，则12nnaxax是等比数列。例：已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.例：已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列).1(0521681}{111naaaaaannnnn且满足记).1(211nabnn（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列}{nb的通项公式及数列}{nnba的前n项和.nS类型11qpnaann1或nnnpqaa1解法：这种类型一般可转化为12na与na2是等差或等比数列求解。例：（I）在数列}{na中，nnanaa6,111，求na（II）在数列}{na中，nnnaaa3,111，求na类型12归纳猜