2014-2017全国卷(理)真题汇编---概率与统计-T

第九章附-统计与概率高考真题（2014全国1）18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.18．【解析】：(Ⅰ)抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s150…………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～(200,150)N，从而(187.8212.2)PZ(20012.220012.2)0.6826PZ………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)XB，所以1000.682668.26EX………12分（2014全国2）19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．（2015全国1）（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量(1,2,...,8)iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中iiwx，81iiww（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2zyx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据1122(,),(,),...,(,)nnuvuvuv,其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：^^^121()(),()niiiniiuuvvvuuu（2015全国2）（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率（18）解：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散。（Ⅱ）记1AC表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；2AC表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；1BC表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；2BC表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1BC与2BC互斥，1122BABACCCCC，1122()()BABAPCPCCCC1122()()BABAPCCPCC1122()()()()BABAPCPCPCPC由所给数据得1212,,,AABBCCCC发生的频率分别为164108,,,20202020，故1212164108(),(),(),()20202020AABBPCPCPCPC164108()0.4820202020PC（2016全国1）4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）13（B）12（C）23（D）34如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保8:208:107:507:408:308:007:30BACD证他等车的时间不超过10分钟.根据几何概型，所求概率10101402P．故选B．（2016全国1）19.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5PXn，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？19．⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件iA为第一台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i记事件iB为第二台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i由题知1341340.2PAPAPAPBPBPB，220.4PAPB设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，2211160.20.20.04PXPAPB1221170.20.40.40.20.16PXPAPBPAPB132231180.20.20.20.20.40.40.24PXPAPBPAPBPAPB14233241190.20.20.20.20.40.2PXPAPBPAPBPAPBPAPB0.20.40.24243342200.40.20.20.40.20.20.2PXPAPBPAPBPAPB3443210.20.20.20.20.08PxPAPBPAPB44220.20.20.04PxPAPBX16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04⑵要令0.5Pxn≤≥，0.040.160.240.5，0.040.160.240.240.5≥则n的最小值为19⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040当20n时，费用的期望为202005000.0810000.044080所以应选用19n（2016全国2）5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()（A）24（B）18（C）12（D）9【解析】B有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法（2016全国2）18.（本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345≥保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345≥概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；EF6FG36318（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，．⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，．⑶解：设本年度所交保费为随机变量．平均保费，∴平均保费与基本保费比值为．（2017全国1）2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．B．C．D．B（2017全国1）19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．A()1()1(0.300.15)0.55PAPA60%B()0.100.053()()0.5511PABPBAPAXX0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.050.850.300.151.250.201.50.201.750.1020.05EXaaaaa0.2550.150.250.30.1750.11.23aaaaaaa1.2314π812