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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引学习目标1.能认识杨辉三角,并能利用它解决实际问题.2.能记住二项式系数的性质,并能解决相关问题.3.会用赋值法求展开式系数的和.重点难点重点:1.二项式系数的性质及应用.2.“赋值法”的应用.难点:利用杨辉三角解决实际问题.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引1.杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C𝑛+1𝑟=C𝑛𝑟-1+C𝑛𝑟.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引2.二项式系数的性质(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即C𝑛0=C𝑛𝑛,C𝑛1=C𝑛𝑛-1,…,C𝑛𝑟=C𝑛𝑛-𝑟.(2)增减性与最大值:当k𝑛+12时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数C𝑛𝑛2取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数C𝑛𝑛-12,C𝑛𝑛+12相等,且同时取到最大值.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU目标导航预习导引3.各项二项式系数的和(1)C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2n.(2)C𝑛0+C𝑛2+C𝑛4+…=C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5+…=2n-1.预习交流(1)(1+2x)2n的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是().A.第n-1项B.第n项C.第n+1项D.第n项,第n+1项提示:C(2)(x+1)10的展开式中的各项系数和是().A.0B.1C.-1D.210提示:D课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测一、与杨辉三角有关的问题活动与探究问题1:观察(a+b)n展开式的二项式系数找一些这些数的规律.提示:(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测问题2:问题1中的表称为“杨辉三角”,杨辉三角有什么作用?提示:利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质,当二项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例1如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为S(n),则S(16)等于().A.144B.146C.164D.461课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测思路分析:该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和.解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,然后利用组合数的性质求和.答案:C解析:由题图知,数列中的首项是C22,第2项是C21,第3项是C32,第4项是C31,…,第15项是C92,第16项是C91.故S(16)=C21+C22+C31+C32+…+C91+C92=(C21+C31+…+C91)+(C22+C32+…+C92)=(C22+C21+C31+…+C91−C22)+(C33+C32+…+C92)=C102+C103-1=164.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用下列是杨辉三角的一部分.(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗?(2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的,其余的数都等于它肩上的两个数之和.(2)设a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,若令bn=an+1-an,则b1=2,b2=3,b3=4,所以可得{bn}是等差数列,从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解.注意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测二、二项式系数的性质活动与探究问题:根据杨辉三角的第1个规律,同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质?提示:对称性,因为C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚,也可以从f(r)=C𝑛𝑟的图象得到.例2(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:求(a+bx)n的展开式中系数最大的项,通常用待定系数法,即先设展开式中的系数分别为A1,A2,…,An+1,再设第k+1项系数最大,则由不等式组𝐴𝑘+1≥𝐴𝑘,𝐴𝑘+1≥𝐴𝑘+2确定k的值.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测解:T6=C𝑛5(2x)5,T7=C𝑛6(2x)6,依题意有C𝑛525=C𝑛626⇒n=8.故(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C84·(2x)4=1120x4.设第k+1项系数最大,则有C8𝑘·2𝑘≥C8𝑘-1·2𝑘-1C8𝑘·2𝑘≥C8𝑘+1·2𝑘+1⇒5≤k≤6,又k∈{0,1,2,…,8}故k=5或k=6.故系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.𝑥-1𝑥10的展开式中,系数最大的项为().A.第六项B.第三项C.第三项和第六项D.第五项和第七项答案:D解析:由二项式定理可知,展开式中,二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由于二项式系数的最大项为T6,且T6=C105x5-1𝑥5=-C105中的二项式系数等于项的系数的相反数,此时T6的系数最小.而T5=C104·x6·-1𝑥4=C104x2,T7=C106x4-1𝑥6=C106·x-2,且C104=C106,故系数最大的项为第5项和第7项.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.若𝑥3+1𝑥2𝑛(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大,则该展开式中的常数项为().A.462B.252C.210D.10答案:C解析:由于展开式中只有第6项的系数最大,且其系数等于其二项式系数,所以展开式项数为11,从而n=10,于是得其常数项为C106=210.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组、解不等式的方法求得.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测三、二项式系数、展开式系数的求和活动与探究问题1:怎样利用二项展开式(1+x)n=C𝑛0+C𝑛1x+C𝑛2x2+…+C𝑛𝑟xr+…+C𝑛𝑛xn,求二项式系数的和.提示:在原式中令x=1可得2n=C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛,故(a+b)n展开式中各个二项式系数的和等于2n.问题2:在(a+b)n展开式中,若a,b赋予特定的值,怎样求某些系数的和?提示:一般可采用赋值法来求系数和.根据题目要求,灵活给字母赋值,使式子中出现所求和的形式.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例3设(3𝑥13+𝑥12)n的二项展开式中各项系数之和为t,二项式系数和为h,若h+t=272,则二项展开式含x2项的系数为.思路分析:本题主要考查二项式系数与各项系数的区别,用赋值法求各项系数和,利用公式求二项式系数和.答案:1解析:由已知令x=1,则展开式各项系数和t=(3+1)n=4n,二项式系数和h=C𝑛0+C𝑛1+…+C𝑛𝑛=2n,即h+t=4n+2n=272,解得n=4,故(3𝑥13+𝑥12)n=(3𝑥13+𝑥12)4,则展开式的通项公式为Tr+1=C4𝑟·(3𝑥13)4-r·(𝑥12)r=34-rC4𝑟𝑥43+𝑟6,令43+𝑟6=2,则r=4.故含x2项的系数为1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测例4设函数f(x,y)=1+𝑚𝑦𝑥(m0,y0).若f(4,y)=a0+𝑎1𝑦+𝑎2𝑦2+𝑎3𝑦3+𝑎4𝑦4,且a0+a1+a2+a3+a4=81,则a0+a2+a4=.思路分析:由a0+a1+a2+a3+a4=81表示的为各项系数和,可令y=1求得m值.a0+a2+a4为奇数项系数和,可令y=-1,结合已知求出.答案:41解析:f(4,y)=a0+𝑎1𝑦+𝑎2𝑦2+𝑎3𝑦3+𝑎4𝑦4=1+𝑚𝑦4,令y=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(1+m)4=81,又m0,故m=2.令y=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(1-m)4=1.两式相加得2(a0+a2+a4)=82,故a0+a2+a4=41.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测迁移与应用1.若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为().A.1B.-1C.0D.2答案:A解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(3-2)4.故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4·(-2+3)4=[(3+2)(3-2)]4=1.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测2.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn展开式中偶数项的二项式系数和为32,若偶数次项的系数和为h,奇数次项的系数和为t,则h2-t2=.答案:729解析:由已知2n-1=32,即n=6,故(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6.令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6.而h=a0+a2+a4+a6,t=a1+a3+a5,故h2-t2=(h+t)(h-t)=36=729.课前预习导学KEQIANYUXIDAOXUE课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU问题导学当堂检测赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法,注意取值要有利于问题