1.3[1].2杨辉三角与二项式系数的性质(优秀高效课堂导学案)

1§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质主讲：陈磊襄州一中高二数学组【三维目标】1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】【复习引入】1、二项式定理：________________________________________________；通项：；二项式系数：______________________________________________；[来源:Zxxk.Cm]2、(1+x)n=________________________________________________；【问题探究1】。杨辉三角的来历及规律问题1：把(a+b)n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。通过填表，你发现了每一行的系数有什么规律？问题2：为了方便，可将上表改写成如下形式，表示形式的变化后你发现新的规律吗？[来源:Z.xx.k.Com](a+b)1…………………………………………………11(a+b)2…………………………………………………121(a+b)3………………………………………………1331(a+b)4……………………………………………14641(a+b)5…………………………………………15101051(a+b)6………………………………………1615201561……………………………归纳小结：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？蕴含规律：1、2、3、问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？2【问题探究2】、从函数角度分析二项式系数：问题1：(a+b)n展开式的二项式系数为，从函数角度看，rnC可看成是以r为自变量的函数f(r)，令f(r)=rnC，定义域为问题2：当n=6时，作出函数f（r）的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作当n=7时函数f（r）的图象吗？问题3：当n=7时，函数f（r）的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？【继续探究】通过图象归纳二项式系数的重要性质问题1：（对称性）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示？问题2：（增减性与最大值）由函数f（r）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐的。如何证明？3问题3：二项式系数在中间处取得最大值，那么(1)当n是偶数时，中间最大的一项二项式系数是，是二项式展开式的第几项？(2)当n是奇数时，中间最大的两项二项式系数是和，是二项式展开式的第几项？【反馈升华】1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是().A.第15项B.第16项C.第17项D.第18项2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项().A.第6项B.第7项C.第6项和第7项D.第5项和第7项3，已知nxx431展开式中只有第10项二项式系数最大，则n=______【问题探究3】、各项二项式系数的和问题1：(1+x)n=0nC+1nCx+2nCx2+…+rnCxr+…+nnCxn,那么0nC+1nC+2nC+…+nnC=？问题2：试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。变式提升：已知772107....)21(xaxaxaax则(1)7654321aaaaaaa(2)7531aaaa(3)6420aaaa（4）76210...aaaaa4【课堂延伸】再来探讨杨辉三角的秘密：（见教材P35阅读材料）问题1：（见教材P36图1）从连线上的数字你能发现什么规律吗？11...321nC21...631nC31...1041nCrnrrrrrrCCCC121...(nr)问题2．（见教材P36图2）计算杨辉三角图形中斜行上数字的和，你发现什么规律吗？【课堂小结】1.二项式系数的性质:2.数学思想：3.数学方法：【课后检测】1、已知515C=a，915C=b，那么1016C=__________；2、（a+b）n的各二项式系数的最大值是____________；3、111C+311C+…+1111C=________；4、11211101210nnnnnnnnnnCCCCCCCC__________；5、证明：0nC+2nC+4nC+…+nnC=2n-1(n是偶数)；5【课堂延伸】今天同学们展示了一些杨辉三角的规律，但是作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处.【课外活动】（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.附：杨辉三角数表：表16表2附：杨辉三角研究成果报告单第组杨辉三角研究成果报告单年月日研究的问题猜想结论证明或说明疑问1杨辉三角每行左右两边数字具有对称性吗？如果有你能用组合数式子表示这个结论吗？2杨辉三角两斜边的数字都由1组成，而其余的数字与它的上一行中的数字有什么关系？3你发现第n行数字规律与二项展开式有什么联系？4求杨辉三角前五行的各行数字之和，猜想第n行数字之和。……………………7小组长教师评估意见：成果等级记录人审核人注：评价应重过程看结果，着重放在学生参与探索过程所获得的体验。