搜索
1.3.2球的体积与表面积一.教学目标１．知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。２．过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。３．情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。二.教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。三.学法和教学用具１．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。２．教学用具：投影仪四.教学设计（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。]⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。（二）探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR，底面是“小圆片”的底面。如图：得)1(])1(1[232nininRnRrVii、２ 第二步：求和]6)2)(1(1[113321nnnRvvvv＝Ｖ半球第三步：化为准确的和当n→∞时，n1→0（同学们讨论得出）所以3332)6211(RR＝Ｖ半球得到定理：半径是Ｒ的球的体积334R球Ｖ练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)2．球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？半径为R的球的表面积为Ｓ＝４πR2练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。（答案50元）（三）典例分析课本P47例4和P29例5（四）巩固深化、反馈矫正⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。（答案：1:33；3：1）⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。（答案：2500πcm2）（五）课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。（六）评价设计作业P30练习1、3，B（1）分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径