第7讲：线性方程组的解-习题课

统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.01nARxAnnm矩阵的秩的充分必要条件是系数有非零解元齐次线性方程组定理一、线性方程组有解的判定条件的解．讨论线性方程组的秩，和增广矩阵如何利用系数矩阵bAxBA问题：证必要性.,,nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设,根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而有非零解，设方程组0Ax统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课这与原方程组有非零解相矛盾，.nAR即不能成立．nAR)(充分性.,nrAR设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.个非零行，的行阶梯形矩阵只含则rA统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课证必要性．,有解设方程组bAx,BRAR设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１，.,2的秩阵的秩等于增广矩矩阵的充分必要条件是系数有解元非齐次线性方程组定理bABAbxAnnm这与方程组有解相矛盾..BRAR因此统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课并令个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解．充分性.,BRAR设,nrrBRAR设证毕个非零行，的行阶梯形矩阵中含则rB其余个作为自由未知量,rn-把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,r统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课小结有唯一解bAxnBRARnBRAR有无穷多解.bAx方程组的通解．性程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例1求解齐次线性方程组.034022202432143214321-----xxxxxxxxxxxx解-----341122121221A------463046301221二、线性方程组的解法施行初等行变换：对系数矩阵A13122rrrr--统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课0000342101221)3(223--rrr212rr---00003421035201即得与原方程组同解的方程组--,0342,0352432431xxxxxx统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课--,,,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可任意取值xx由此即得--,342,352432431xxxxxx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx.1034350122214321--ccxxxx统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例２求解非齐次线性方程组-----.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换，-----322122351311321B13122rrrr-------10450104501132123rr-----200001045011321,3)(,2)(BRAR显然，故方程组无解．统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例３求解非齐次方程组的通解.2132130432143214321-------xxxxxxxxxxxx解对增广矩阵B进行初等变换-------2132111311101111B-----2121001420001111~统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.00000212100211011~---,2BRAR由于故方程组有解，且有2122143421xxxxx42442342242102120021xxxxxxxxxxxx统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.02102112000011424321xxxxxx.,42任意其中xx所以方程组的通解为统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例４求出它的一切解．在有解的情况下，是有解的充要条件证明方程组.054321515454343232121-----aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课-----543211000111000011000011000011aaaaaB----5143210000011000011000011000011~iiaaaaa051iiaBRAR统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.051iia是方程组有解的充要条件由于原方程组等价于方程组----454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax.5为任意实数x统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例５设有线性方程组23213213211xxxxxxxxx??,有无穷多个解有解取何值时问解21111111B1111111~2作初等行变换，对增广矩阵),(bAB统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课------2222111011011~-------32222120011011~-----22112100111011统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课,11时当000000001111~B.,3方程组有无穷多解BRAR其通解为--33223211xxxxxxx.,32为任意实数xx统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课,12时当--22120011011~B这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解时-BRAR.21,21,212321-xxx统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.,故方程组无解BRAR,2)2时----300063304211~B统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课第2章习题课统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例１求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021----A解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵A统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课----34147191166311110426010021A----3514721015639010426010021~统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课,00000000005213010021~B.2)()(,BRAR因此注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课例２求非齐次线性方程组的通解．)1(.2255,1222,132,123,1323214321432143214321---xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵进行初等行变换，使其成为行最简单形．B统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课---2025511222111321112311321B-0000020354111322025520453~31323425rrrrrrrr----0000000101111322025500202~2124rrrr-----0000000000111320201100101~2213214rrrrr统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课----0000000000156000211000101~1221332rrrrr------0000000000616510061670106165001~6)1(6)1(631323rrrrr统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.,16567650616161)1(,43214取任意常数的通解是可得方程组令自由未知量kkxxxxxkx-由此可知，而方程组(1)中未知量的个数是，故有一个自由未知量.3)()(BRAR4n统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课-----.0323,0,022,04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例３当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．a解法一系数矩阵的行列式为A统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课aaA32311121211111-----3050212010101111---aa2000010010101111--aa)2)(1(-aa统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课.,0,21方程组有非零解时或者当-Aaa:,1化成最简形把系数矩阵时当Aa---------10000000001001011323111121211111~.,01014321为任意常数kkxxxxx从而得到方程组的通解统计软件分析与应用线性代数A2.7线性方程组的解，习题课------0000030010101