1.4条件概率的计算公式

概率论与数理统计一、条件概率的概念例1.4.1一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄白两色，分类如下：新4030旧2010从盒子中随机取出一个球，若记A=｛从盒子中随机取出一个球，该球为新球｝，402.603若事先知道取出的是黄球，则上述概率为记B={从盒子中随机取出一个球，该球为黄球}4040/100()().6060/100()PABPABPB1.条件概率的定义定义1.4.1若（,,F）是一个概率空间BF，且()PB0.对任意AF，称()PAB=)()(BPABP为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。２．条件概率的性质不难验证条件概率()PB具有概率的三个基本性质1）非负性：AF()PAB≥０2）规范性：()1PB3）可列可加性：iAF（i=1，2……），且,1A2A……互不相容，有BAPBAPiiii111212124) ()0,5)()1(),6)()()()().PBPABPABPAABPABPABPAAB例1.4.2．某种灯泡用5000小时未坏的概率为，用10000小时未坏的概率为，现有一只这种灯泡已用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？4321解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”21,43APBP我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即BA所以AB=A，APABPAPBPAPBPABPBAP21324321这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量较次的灯泡。二、乘法公式若，由条件概率定义，可得()0PBBPBAPABP上式称为事件概率的乘法公式它可推广到任意有限个事件设为任意n个事件，满足nAAA,,,21021nAAAP12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP则APABPABP例1.4.3甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。记{A甲市出现雨天}{B乙市出现雨天}求：1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。()()()()0.26,PABPAPBPAB解()0.12()0.67,()0.18PABPABPB()0.12()0.60.()0.2PABPBAPA例1.4.4．有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，…，7）解：设=“第i个人抓到票”，（i=1，2，…，7）iA76,7111APAP显然如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。这就是说，所以12AA122AAA于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中抓到电影票，所以6112AAP716176121122AAPAPAAPAP类似可得715165762131213213AAAPAAPAPAAAPAP…717AP例1.4.5．设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？解法一：用古典概型来做设A=“两次都拿到白球”，3121026CCAP解法二：用乘法公式来做，设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”，AB=“两次都拿到白球”，95,106BAPBP3195106.BAPBPABP三、全概率公式例1.4.6有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。例1.4.7某车间有100台相同型号的冰箱待检验，其中60台是甲流水线生产的，25台是乙流水线生产的，15台是丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1,0.4,0.2．一位检验员从这批冰箱中随机地取了1台,问：试求取到不合格冰箱的概率；解(1)设事件A表示“取到的冰箱不合格”；事件123,,BBB分别表示“检验员取到的冰箱是甲、乙、丙流水线生产的”．且有()PA123()PABABAB123()()()PABPABPAB112233()()()()()()PABPBPABPBPABPB31()()iiiPABPB0.10.60.250.40.150.20.19.1()0.6,PB1()0.1,PAB2()0.25,PB3()0.15.PB2()0.4,PAB3()0.2PAB在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Ai出现，例如A是由原因Ai所引起，则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和.“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。定理：设为一列互不相容的事件，且12,,,nBBB1niiB则对任一事件A，有1122nnPAPBPABPBPABPBPAB1niiiPBPAB证明见书。上述公式称为全概率公式。AB1B2B3Bn...全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.例1.4.8某车间有100台相同型号的冰箱待检验，其中60台是甲流水线生产的，25台是乙流水线生产的，15台是丙流水线生产的。已知这三条流水线的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1,0.4,0.2．一位检验员从这批冰箱中随机地取了1台,问：检验员开箱测试后发现冰箱不合格，但这台冰箱的流水线已经脱落，试问这台冰箱是甲、乙、丙流水线生产的概率各为多少？(2)按题意，要求的概率分别是123(),(),()PBAPBAPBA1()PBA1()()PBAPA11()()()PABPBPA0.60.10.10.60.250.40.150.20.316.同理可得20.250.4()0.5260.10.60.250.40.150.2PBA，30.150.2()0.158.0.10.60.250.40.150.2PBA当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)作新的估计.31()()()iiiPAPBPAB｜31()()(|)()()iiijjjPBPABPBAPBPAB｜｜i=1,2,311112233()()()()()()()()PABPBPABPBPABPBPABPB定理：设为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件B，则有12,,,nBBB1,1,2,,iiiniiiPBPABPBAinPBPAB这个公式称为贝叶斯公式（逆概公式）。四、贝叶斯公式（逆概公式）在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。练：1.盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。（1）求第二次取出的全是新球的概率（2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。解：设=“第一次取出的3只球都是旧球”，=“第一次取出的3只球中有1只新球”，=“第一次取出的3只球中有2只新球”，=“第一次取出的3只球都是新球”，B=“第二次取出的都是新球”。1A2A3A4A44111ABPAPABPAPBP）则（1458.031236312393123731229133123831219233123931233CCCCCCCCCCCCCCCCCC2381.02444BPABPAPBAP）（2．某工厂有1，2，3三个车间，它们生产同一种螺钉，其产量分别占总产量的25%，35%，40%，每个车间的成品中，次品占产品的5%，4%，2%，现从全部螺钉中抽取一个产品，求（1）它是次品的概率（2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率解：设=“抽到的是i车间的产品”，iA3,2,1iB=“抽到的产品是次品”，3322111ABPAPABPAPABPAPBP）（0345.002.04.004.035.005.025.03623.02111BPABPAPBAP）（4058.0222BPABPAPBAP2319.0333BPABPAPBAP3、子弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，大、中、小三种弹片打中坦克的概率分别等于大、中、小三种弹片数量之比1：3：6，若大、中、小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分别为0.9,0.2,0.05，求（1）击穿坦克的概率；（2）若已知坦克被击穿，分别是由大、中、小三种弹片击穿的概率。解：设B=“坦克被击穿”表示坦克分别被大、中、小三种弹片击中321,,AAA3322111ABPAPABPAPABPAPBP）则（18.005.06.02.03.09.01.05.02111BPABPAPBAP）（33.0222BPABPAPBAP17.0333BPABPAPBAP（1）两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03，第二台出废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是废品的概率。（0.027）（2）播种用的一等小麦种子中混合2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。（0.4825）练习：