直线与平面垂直的判定1

直线与平面垂直直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.A平面的垂线直线的垂面垂足注意：1.定义中的任意一条直线为所有直线，但与无数条直线不同2.直线和平面垂直只是相交的一种特殊形式3.直线和平面垂直的定义简称线面垂直，则线线垂直判断下列命题是否正确？×(1)若一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行。（）(2)若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。()×在几何中，定义兼具两重性，既是判定又是性质。判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的一种方法；性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。（此结论经常用）abababLP直线和平面垂直的画法记作：L⊥通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。线面垂直直观图的画法：mn实例2、判定直线和平面垂直的方法方法（1）根据定义(最基本的方法)a是α内任一条直线lalLPa方法(2)直线和平面垂直的判定求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．bmmbbamama//已知：，．ba//a求证：．b证明：设是内的任意一条直线．(定义)m可作定理使用AmnB猜测：如果一条直线l和一个平面α内的两条相交直线m,n都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.mnBAA’cDgElnlmlBnmnm求证：已知：,,,l方法（3）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.AmnB推理模式：lnlmlBnmnm,,,线线垂直线面垂直mnmnmnmn⑴⑵⑶⑷BBBB(1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面。()(2)、若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。()(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。()√×√判断下列命题是否正确？(4)、共点的三条直线中的任一条垂直于另两条所确定的面(√)判断下列命题是否正确？(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直。()(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。()√√例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条。已知：平面α和一点P.求证：过点P与α垂直的直线只有一条。PBAPBA证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)，如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β,且α∩β=a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a，这是不可能的。所以过点P与α垂直的直线只有一条。PBAPBAaa例2的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？DCBA例3．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l.求证：AP在α内。MPlA证明：设AP与l确定的平面为β，假设AP不在α内，则设α与β相交于直线AM。因为l⊥α，AMα,所以l⊥AM，又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的，所以AP一定在α内。例4:已知，于，．lPAAPBBlAB于求证：AB例5:已知平面，是⊙的直径，是⊙上的任一点，求证：．PAABCOCOPCCB6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，求证：B1H⊥平面AD1C.证明：连接B1D1，∵B1B⊥AB，B1B⊥BC，∴B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥AC，HOABCC1B1D1A1D∵又AC⊥BD，∴AC⊥平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D，∴AC⊥B1H，又B1H⊥D1O，∴B1H⊥平面AD1C.ABCDA’B’C’D’1.如图正方体ABCD-A’B’C’D’中，与A’B垂直的棱有多少条？请列出并说明原因。2.已知：如图，空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD点E是BD的中点。求证：AC⊥BD。ABCDE3.已知：如图，空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD点E是BD的中点。过A作AH⊥CE于HABCDE⑴求证：AC⊥BD。⑵求证：AH⊥面BCD。课堂练习1．选择题（1）“直线L垂直于平面内的无数条直线”是“L⊥”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）如果一条直线L与平面的一条垂线垂直，那么直线L与平面的位置关系是（）（A）L（B）L⊥（C）L∥（D）L或L∥2．填空题（1）过直线外一点作直线的垂线有_____条；垂面有___个；平行线有__条；平行平面有_____个.（2）过平面外一点作该平面的垂线有___条；垂面有____个；平行线有条；平行平面有___个.3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？BD无数一一无数无数无数一一1、线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内任何一条直线都垂直，我们就说这条直线与这个平面相互垂直。2、线面垂直的判定定理:如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面。小结注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线与已知直线是否有公共点，无关紧要。线线垂直线面垂直判定定理定义