变分法原理与技术

2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系1最优控制中南大学信息科学与工程学院韩华2008.03第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系2第二章变分法及其在最优控制中的应用2.1变分法简介2.2泛函的变分2.3欧拉方程2.4横截条件2.5泛函局部极值的充分条件2.6等式约束条件下的变分问题2.7利用变分法求解最优控制问题小结第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系32.1变分法简介作为数学的一个分支，变分法(calculusofvariations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果:约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（TheBrachistochroneProblem）。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系4它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣.罗比塔（1661-1704）、雅可比·伯努利（1654-1705）、莱布尼茨（1646-1716）和牛顿（1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化.欧拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系5有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(TheHangingChainProblem),向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系6伽利略（Galileo,1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens,1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程22201()(0)(0)0dydyadxdxyyy第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系7解此方程并适当选取参数，得1()2axaxyeea即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系8现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题，称为变分问题。变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。什么叫泛函？2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系92.1泛函的变分一、泛函的定义如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。又称为泛函的宗量泛函函数)(;)()()(,)(txJtxtxJxttxRJRtxn第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系10例2.1.1函数的定积分10()Jxtdt都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。2.离散系统1.连续时间系统：221()2()qiJxiui是泛函吗？第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系11例2.1.2在平面上连接给定两点A(ta，xa)和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如图2-1所示。当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)=xa，x(tb)=xb）给定后，可算出它在A、B两点间的弧长为：221()niiiJtxtA(ta,xa)x(t)B(tb,xb)xot图2－1ΔtiΔxi221()1niiiixttt21battdxdtdt第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系12例2.1.3函数的不定积分dxyt0)(泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：10)]()([dttytxJ不是泛函。例如第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系13几点说明：1、泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。2、泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的宗量。3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全体所构成的函数空间。4、求函数的极值时，微分或导数起着重要的作用。求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分法。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系14从例2.1.2可以知道，连接A、B两点的曲线之弧长的泛函，其被积函数是未知函数导数的函数。在一般情况下，被积函数是自变量t，未知函数x(t)及其导数的函数。所以最简单的一类泛函可表示为：21x()xt0[()][(),(),]fttJxtLxtxttdt第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系15二、泛函宗量的变分0()()()xtxtxt（2.1.1）泛函J[x(t)]的宗量x(t)的变分是指在同一函数类中的两个函数间的差：图2－2x(t)x0x0(t)t1t2t第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系16三、泛函的连续性函数相近零阶相近当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值，即:∣x(t)-x0(t)∣,t1tt2(2.1.2)对于x(t)的定义域中的一切t（t1tt2）都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。x(t)xot图2－3x0(t)t1t2第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系17一阶相近当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导数和之差的绝对值，即(2.1.3)都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的，如图2-4所示。()xt0()xt0012()(),()()tttxtxtxtxtx(t)xot图2－4x0(t)t1t2注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系18都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶相近的。()()00120()(),()(),()()kkxtxtxtxtxtxttttk阶接近：当(2.1.4)第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系19在不同的函数空间，函数间的距离也不同。•在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：••(2.1.5）00[(),()]max()()atbdxtxtxtxt函数间距离在函数空间Ck[a，b]（在区间[a，b]上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：()()0000[(),()]max()(),()(),,()()kkatbdxtxtxtxtxtxtxtxt（2.1.6）显然，式（2.1.5）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而式（2.1.6）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系20如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个0，当d[x(t)，x0(t)]（2.1.7）时，存在∣J[x(t)]－J[x0(t)]∣(2.1.8)那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。根据所采用的函数之间距离定义的不同，是按式（2.1.5）还是式（2.1.6），其对应的泛函分别称为零阶连续泛函或k阶连续泛函。泛函的连续性第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系21四、泛函的常见形式1、线性泛函连续泛函如果满足下列条件：（1）J[x1(t)+x2(t)]=J[x1(t)]+J[x2(t)]（2）J[cx(t)]=cJ[x(t)]其中，c是任意常数，就称为线性泛函。例如21[()][()(sin)()]ttJxttxttxtdt21[()][()()()()]ttJxtptxtqtxtdt2[()]()tJxtxt都满足上述两个条件，故均为线性泛函。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系22连续泛函如果满足下列条件：（1）J[x1(t)]+J[x2(t)]=1/2[J[x1(t)+x2(t)]+J[x1(t)-x2(t)]]（2）J[cx(t)]=c2J[x(t)]就称为*****二次型泛函*****。例如011()()()()22ftTTfftJxtFxtxtQxtdt是关于x(t)的二次型泛函，其中F、Q均为对称矩阵。2、二次型泛函第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系23五、泛函的变分变分法（calculusofvariations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系24泛函的变分的定义如果连续泛函J[x(t)]的增量可以表示为：[()][()()][()]JxtJxtxtJxt其中，L[x(t)，x(t)]是关于x(t)的线性连续泛函，而r[x(t)，x(t)]是关于x(t)的高阶无穷小。L[x(t)，x(t)]称为泛函的变分，记为（2.1.9）[(),()]JLxtxt（2.1.10）[(),()][(),()]Lxtxtrxtxt也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。当一个泛函具有变分时，即泛函的增量可以用式（2.1.9）来表示时，称该泛函是可微的。第二章变分法及其在最优控制中的应用2020/3/8中南大学信息科学与工程学院自动化系25例如，泛函的增量为：120[()]()Jxtxtdt于是，其变分为：102()()JxtxtdtJxtxtdtxtdt112200[()()]()