第十二章压杆稳定§12–1压杆稳定性的概念§12–2细长压杆临界力的欧拉公式§12–3欧拉公式应用范围、临界应力总图§12-4压杆的稳定校核及其合理截面§12-1压杆稳定性的概念1008~1016年,浙江宁波经历了1305年的八级地震。1056年建,“双筒体”结构塔身平面为八角形P一、稳定平衡与不稳定平衡:1、不稳定平衡2、稳定平衡3、稳定平衡和不稳定平衡一、压杆失稳与临界压力:1、理想压杆:材料绝对理想;轴线绝对直;压力绝对沿轴线作用。2、压杆的稳定平衡与不稳定平衡:稳定平衡不稳定平衡3、压杆失稳:4、压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Pcr过度对应的压力即:使压杆保持在微弯状态下平衡的最小压力值。§12-2细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力:PyyxM),(假定压力已达到临界值,杆处于微弯状态,如图,从挠曲线入手,求临界力。yEIPEIMy①、弯矩:②、挠曲线近似微分方程:02ykyyEIPyEIPk2:其中xyPPMxyPPL③、微分方程的解:④、确定积分常数:kxBkxAycossin0)()0(Lyy0cossin00:kLBkLABA即00sin0AkLAB0sinkLEIPLnk临界力Pcr是杆微弯下的最小压力,故只能取n=1;且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。2min2crLEIP二、此公式的应用条件:三、其它支承情况下,压杆临界力的欧拉公式1、理想压杆;2、线弹性范围内;3、两端为球铰支座;—长度系数(或约束系数)。两端铰支压杆临界力的欧拉公式2min2crLEIP压杆临界力欧拉公式的一般形式2min2cr)(LEIP12-1PMkykyEI0220)(MPyxMyEIEIPk2:令PMkxdkxcy0sincos000yyLxyyx,;,解:变形如图,其挠曲线近似微分方程为:边界条件为:PMPM0xyPM0PM0xy例12-2-1试由挠曲线近似微分方程,导出下述两种细长压杆的临界力公式。nkLnkLdPMc200及,,2222)2/(4LEILEIPcr2kL为求最小临界力,“n”应取除零以外的最小值,即取:所以,临界力为:2nkL=0.5③、压杆的临界力例12-2-2求下列细长压杆的临界力。,123hbIy=1.0,解:①、绕y轴,两端铰支:222crLEIPyy,123bhIz=0.7,②、绕z轴,左端固定,右端铰支:212r)7.0(LEIPzzc),min(crcrcrzyPPP例12-2-3图示结构,两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,在总压力p作用下,求最小的临界载荷。LaddPyz(1)crP解:细长圆杆可能的失稳形式有:(1)两端固定(中心失稳):24324222cr85.0642)5.0(2LEdLdELEIP2224222cr2224642LaddELEIPy222234128adLEd(2)下端固定,上端自由,y为中性轴(左右失稳)(3)下端固定,上端自由,z为中性轴(前后失稳)24324222cr12822642LEdLdELEIPz比较可知,(3)中为最小的临界载荷(2)crP(3)crP例12-2-4铰接桁架,两杆均为抗弯刚度为EI的细长杆。(1)若a=1.2m,b=0.9m,确定水平力的最大值;(2)保持斜杆BC的长度不变。确定充分发挥两杆承载能力的a角。解:(1):平衡分析3534PNPNBCAB,临界力56.2222crEIlEINABAB25.2222crEIlEINBcBCaPABC1.6mabpABNBCNaEIPNNABAB2cr293.0,得令EIPNNBCBC2cr267.0,得令EIP2max267.0故ACBp(2):平衡atanPNABacosPNBC两杆同时失稳时得以充分利用crABABNNcrBCBCNN且561.a得例12-2-5图示平面结构,三杆材料相同,且都是直径相同的细长圆杆,。若此结构由于失稳而丧失承载能力,试确定荷载的临界值。30aaa1ABCDPL23解:(1)解超静定问题PPN435.0cos2131aPPN326021322.coscosaa1232L1LABCDPaa1N3N2NPA平衡acos221NNP几何acos12LL物理EALNEALNaacoscos12解得:(2)求细长杆的临界力2222cr104.27.0LEILEIN2222cr275.030cosLEILEIN(3)确定P的临界值72.233.1cr2cr121NNNN则2、3杆先失稳,内力保持其临界值312crp123结构仍有承载能力P增大部分由1杆承担至全部失稳时30cos2cr2cr1crNNP233LEI§12-3欧拉公式应用范围、临界应力总图APcrcr一、基本概念1、临界应力:压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3、柔度:222222crcr)/()(EiLEALEIAP2、细长压杆的临界应力:—惯性半径。—AIi)—杆的柔度(或长细比—iL22crE即:4、大柔度杆的分界:pE22cr欧拉公式求。长细杆),其临界力用的杆称为大柔度杆(或满足PppE2求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆,其P二、中小柔度杆的临界应力计算1、直线型经验公式①、ps时:sbacrssba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆,其临Psbacr界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆,其临SocriLbassPPE2SP③、临界应力总图②、s时:scrbacr22Ecr2、抛物线型经验公式211bacrScEAAa56.043.016253,锰钢:钢和钢、对于。时,由此式求临界应力C我国建筑业常用:①、ps时:21cscra②、s时:scr49123105210121030m.minI212)(mincrlEIP4810893m.minzII222)(mincrlEIP例12-3-1已知:L=0.5m,。求下列细长压杆的临界力。PL图(a)图(b)解:图(a)图(b)yzkN.)..(.34050702005222kN.).(.87650220093822100ppiL1215350070.piL6113885002..mm.min3510300105269AIi例12-3-2一压杆长L=1.5m,由两根56568等边角钢组成,两端铰支,压力P=150kN,角钢为A3钢,s=235MPa,c=123,试用欧拉公式或抛物线公式求临界压力和安全系数。412163233678cm.,cm.yIAzyIIcm...min681367822647AIi1233.8968.1150cil解:一根角钢:图示两根角钢组合之后412647632322cm..minyyIII所以,应由抛物线公式求临界压力。MPa.]).(.[])(.[cr7181233894301235430122cskN..crcr304107181103678264AP022150304.crPPn安全系数TLLEAPLLTPamm.5124304042222dDi12380105122503cil..)(例12-3-3两端固定的管道长L=2m,外径D=40mm,内径d=30mm,材料为A3钢,E=210GPa,线膨胀系数为a=12.510-61/C0,安装时温度为T0=10C0,试求不引起管道失稳的最高温度T=?解:(1)、求T与P之间的关系:PPTEAPa(2)、求杆的柔度,选用临界力公式所以,应由抛物线公式求临界压力24301csAP.cr(3)确定失稳的最高温度EAPTTTTcra00C.83430120csETa§12-4压杆的稳定校核及其合理截面一、压杆的稳定容许应力:1、安全系数法确定容许应力:wwncr2、折减系数法确定容许应力:w的函数。它是折减系数,二、压杆的稳定条件:wAP例12-4-1一搓丝机连杆,yxh=60L=940zxb=258801L材料为A3钢,连杆承受的轴向压力为P=120kN,取稳定安全系数nw=2,试校核连杆的稳定性。解:1.求柔度xy面内失稳:yxPL32123hbhbhAIizz3547321941..zzziLxpz1Lxz面内失稳:由于,故连杆在xz面内先失稳,以求临界力zyy32123bbhhbAIiyy61722088501..yyyiL2.求临界应力,作稳定校核kN.cr31543012cysbhPcywnPP632.cr,稳定例12-4-2图示起重机,AB杆为圆松木,长L=6m,[]=11MPa,直径为:d=0.3m,试求此杆的容许压力。803.0461iLxy解:折减系数法①、最大柔度xy面内,=1.0AT1BWT2xyzozy面内,=2.01603.0462iLzy。时木杆23000,75:wkN911011117.043.062wABABAP②、求折减系数③、求容许压力117.016030003000,75:22时木杆例12-4-3图示结构,杆1、2材料、长度相同。E=200GPa,L=0.8m,p=99.3,s=57,cr=304-1.12(MPa),若稳定安全系数nw=3,求许可载荷[P]。303012ABCP30mm解:(1)piL4.92123.08.0111111cr112.1304ANkN5.180104.9212.130403.062(2)piL10040320801222..2222cr2EAN292210010200032.04cr1kN7.158N(3)平衡30cos221PNNNN30301N2NPkN6.9130cos2][30cos22cr2cr2cr2wwnNPnPNNN杆的稳定条件:据例12-4-4图示钢杆,材料,比例极限GPaE200,MPa200p屈服极限直线公式,MPa240s,MPa)(12.1304cr求其工作安全系数。ABCP=30kN2428900mm800mm解:,.3992ppE157.bassABCP(1)AB段两端固定75402409050...MPa220crbaMPa3.6642ABdP3.3crnps(2)BC段一端固定,一端铰支80402408070...MPa7.4842BCdPMPa214crba4.4crn例12-4-5图示构架,AB为刚