三角函数图像和性质

三角函数图像和性质合肥一中丁荣文第3课时三角函数的图像1．理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像．2．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．请注意本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题或中等题．1．三角函数的图像(1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图像是•.(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图像是(3)y＝tanx，x∈(－π2，π2)的图像是2．y＝Asin(ωx＋φ)的图像(A0，ω≠0)(1)五点作图法．作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，五点坐标为_________，___________，_________，_____________，____________.(－φω，0)π－2φ2ω，Aπ－φω，03π－2φ2ω，－A2π－φω，0(2)变换作图．【说明】前一种方法第一步相位变换是______________________平移个单位，而后一种方法第二步相位变换是向平移个单位，要严格区分，对y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同样适用．向左(φ0)或向右(φ0)|φ|左(φ0)或向右(φ0)|φ|ω题型一五点法作y=Asin(ωx+φ)的图像例1用“五点法”画出函数y＝3sinx2＋cosx2的图像，并指出这个函数的周期与单调区间．【解析】y＝3sinx2＋cosx2＝2sin(x2＋π6)，令T＝x2＋π6，则列表如下：T0π2π3π22πx－π32π35π38π311π3y＝2sinT020－20在坐标系中描出相应的五点，再用平滑的曲线连接起来，如下图所示，再向两端伸展一下．从图像观察：该函数的周期为T＝2π12＝4π.[－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ](k∈Z)为增区间，[2π3＋4kπ，8π3＋4kπ](k∈Z)为减区间．【答案】T＝4π单调递增区间为[－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2π3＋4kπ，8π3＋4kπ](k∈Z)探究用“五点法”作正、余弦型函数图像的步骤是：(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式；(2)确定周期；(3)确定一个周期内函数图像的最高点和最低点；(4)选出一个周期内与x轴的三个交点；(5)列表；(6)描点．思考题1用五点法作出y＝2sin(2x＋π3)在－π3，2π3内的图像．题型二三角函数的图像变换例2(1)如何由y＝sinx的图像得y＝2cos(－12x＋π4)的图像．(2)如何由y＝13sin(2x＋π4)的图像得y＝sinx的图像．【解析】(1)y＝2cos(12x－π4)＝2sin(12x＋π4)以下略．(2)转化为由y＝sinx的图像得y＝13sin(2x＋π3)，再逆推就是：把y＝13sin(2x＋π3)图像上各点的纵坐标都伸长到原来的3倍(横坐标不变)得y＝sin(2x＋π3)的图像，再把y＝sin(2x＋π3)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin(x＋π3)的图像，再把y＝sin(x＋π3)的图像上所有点的横坐标向右平移π3，得y＝sinx的图像．探究关于y＝Asin(ωx＋φ)函数图像由y＝sinx的图像的变换，先将y＝sinx的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍，但在(2)题中，是先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是|φω|个单位，原则是保证x的系数为1，同时注意变换的方法不能出错.如何由函数y＝sinx的图像得到下列函数的图像．思考题2(1)y＝sin(2x－23π)－2；(2)y＝cos(2x－π3)；(3)y＝|2sinx|；(4)y＝sin(|x|＋π3)．题型三已知函数图像求解析式例3已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0)的图像在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．【思路】根据题意，可知点M，N是函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0)图像的五个关键点中的两个，可作出其函数的大致图像，如图所示．【解析】方法一(最值点法)：根据题意，可知A＝22，T4＝6－2＝4.所以T＝16.于是ω＝2πT＝π8，将点M(2,22)代入y＝22sin(π8x＋φ)，得22＝22sin(π8·2＋φ)．所以sin(π4＋φ)＝1.所以π4＋φ＝π2，即φ＝π4.从而所求函数的解析式是y＝22sin(π8x＋π4)，x∈R.方法二(零点法)：由方法一可知T＝16，A＝22，ω＝π8，根据题意知N是第二个零点，故x3＝6.又由ωx3＋φ＝π，得φ＝π4.【答案】y＝22sin(π8x＋π4)探究由f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的一段图像，求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)如果图像明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)即可求出φ.(2)代入点的坐标．利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式．再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有所需求，则可用诱导公式变换使其符合要求．A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3思考题3(2013·四川理)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是()例4如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．题型四函数y=Asin(ωx+φ)+b模型的简单应用【解析】(1)由图可得，这段时间的最大温差是30－10＝20℃.(2)图中从6时至14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．∴12·2πω＝14－6，解得ω＝π8.由图可得，A＝12(30－10)＝10，b＝12(30＋10)＝20.这时y＝10sin(π8x＋φ)＋20.将x＝6，y＝10代入上式，可取φ＝3π4.综上，所求解析式为y＝10sin(π8x＋3π4)＋20，x∈[6,14]．【答案】(1)20℃(2)y＝10sin(π8x＋3π4)＋20，x∈[6,14]如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？思考题41．五点法作函数图像及函数图像变换问题．(1)当明确了函数图像基本特征后，“描点法”是作函数图像的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图像时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图像确定函数解析式．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像确定A，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点(－φω，0)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．第4课时三角函数的性质1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期．2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．请注意近两年的新课标高考对三角变换的考查要求有所降低，而对三角函数的图像与性质考查有所加强，但以选择填空为主．•1．三角函数的性质．函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx周期性奇偶性T＝2πT＝2πT＝π奇函数偶函数奇函数函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性增区间减区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称轴x＝π2＋kπx＝kπ无对称中心(kπ，0)(π2＋kπ，0)(kπ2，0)2.y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|.y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.3．(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个三角函数一次式的形式．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)形式的函数单调性，应利用复合函数单调性研究．(3)注意各性质应从图像上去认识，充分利用数形结合解决问题．题型一三角函数的周期性例1求下列函数的周期：(1)y＝2sin23x＋π3；(2)y＝|cosx|；(3)y＝|tanx|；(4)y＝sin2x＋3cos2x.【解析】(1)∵y＝2sin23x＋π3，∴T＝2π23＝3π，即y＝2sin23x＋π3的周期为3π.(2)作图可知T＝π.(3)作图可知T＝π.(4)y＝sin2x＋3cos2x＝212sin2x＋32cos2x＝2sin2x·cosπ3＋cos2x·sinπ3＝2sin2x＋π3，∴T＝2π2＝π.•【答案】(1)3π(2)π(3)π(4)π(1)f(x)＝|sinx－cosx|的最小正周期为________．思考题1(2)若f(x)＝sinωx(ω0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________．题型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin(3x4＋3π2)；(2)f(x)＝xsin(5π－x)．【解析】(1)∵x∈R，f(x)＝sin(3x4＋3π2)＝－cos3x4，∴f(－x)＝－cos3－x4＝－cos3x4＝f(x)．∴函数f(x)＝sin(3x4＋3π2)为偶函数．(2)f(x)＝xsin(π－x)＝xsinx，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)．∴f(x)为偶函数．•【答案】(1)偶函数(2)偶函数•判断下列函数的奇偶性：思考题2(1)y＝sin(2x＋π2)；(2)y＝tan(x－3π)；(3)f(x)＝cosx1－sinx1－sinx；(4)f(x)＝sin(2x－3)＋sin(2x＋3)．题型三三角函数图像的对称性例3(1)求函数f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心和对称轴方程．(2)设函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线x＝－π6对称，求实数a的值．(3)求函数y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心．【解析】(1)思路：利用三角函数的图像，把2x－π6看做一个变量，用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑y＝sinx与y＝sin(2x－π6)的关系，利用变换的思想求对称轴与对称中心．方法一：设A＝2x－π6，则函数y＝sinA对称中心为(kπ，0)，即2x－π6＝kπ，x＝kπ2＋π12(k∈Z)．对称轴方程为2x－π6＝π2＋kπ，x＝π3＋k2π(k∈Z)．所以y＝sin(2x－π6)的对称中心为(kπ2＋π12，0)．对称轴为x＝π3＋k2π(k∈Z)．方法二：由2x－π6＝2(x－π12)，知y＝sin(2x－π6)图像是由y＝sin2x图像向右平移了π12个单位．所以对称轴与对称中心也相应地向右平移