南开张晓峒VAR模型与协整

1VAR模型与协整张晓峒南开大学经济学院天津[e-mail]（向量自回归）模型定义2.VAR模型的特点3.VAR模型稳定的条件4.VAR模型的分解5.VAR模型滞后期的选择6.脉冲响应函数和方差分解7.格兰杰（Granger）非因果性检验8.VAR模型与协整9.VAR模型中协整向量的估计与检验10.案例分析21980年Sims提出向量自回归模型（vectorautoregressivemodel）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。1.VAR（向量自回归）模型定义以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，y1,t=c1+11.1y1,t-1+12.1y2,t-1+u1ty2,t=c2+21.1y1,t-1+22.1y2,t-1+u2t其中u1t,u2tIID(0,2),Cov(u1t,u2t)=0。写成矩阵形式是，ttyy21=12cc+1.221.211.121.111,21,1ttyy+ttuu21设Yt=ttyy21,c=12cc,1=1.221.211.121.11,ut=ttuu21,则，Yt=c+1Yt-1+ut(1.3)3含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut,utIID(0,)其中，Yt=(y1,ty2,t…yN,t)'，c=(c1c2…cN)'j=jNNjNjNjNjjjNjj..2.1.2.22.21.1.12.11,j=1,2,…,kut=(u1tu2,t…uNt)',不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。42.VAR模型的特点（1）不以严格的经济理论为依据。（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。（3）VAR模型对参数不施加零约束。（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。附：20406080100120808182838485868788PHOPHOhat20406080100120808182838485868788PHOPHOF图1油价与静态拟合值图2油价与静态拟合值53.VAR模型稳定的条件对于VAR(1)，Yt=c+1Yt-1+ut模型稳定的条件是特征方程|1-I|=0的根都在单位圆以内，或相反的特征方程|I–L1|=0的根都要在单位圆以外。对于k1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。Yt=C+AYt-1+Ut模型稳定的条件是特征方程|A-I|=0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程|I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut再配上如下等式，Yt-1=Yt-1Yt-2=Yt-2…Yt-k+1=Yt-k+1把以上k个等式写成分块矩阵形式，61121NKkttttYYYY=1NKc000+NKNKkk000000000IIIΠΠΠΠ1211321NKkttttYYYY+1NKt000u其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为Yt=C+AYt-1+Ut附：VAR模型的特征根74.VAR模型的分解以VAR(1)模型Yt=c+1Yt-1+ut为例，用递推的方法最终可把Yt分解为三部分：Yt=(I+1+12+…+1t-1)c+1tY0+110tiiΠut-i=(I-1)-1c+-1tY0+110tiiΠut-i85.VAR模型滞后期的选择1．用F统计量选择k值。F统计量定义为，()//()ruuSSESSEmFSSETkF(m,T–k)2．用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为，LR=-2(logL(k)-logL(k+1)))(22N3．用赤池（Akaike）信息准则(AIC)选择k值。AIC=-2TLlog+Tk24．用施瓦茨（Schwartz）准则(SC)选择k值。SC=-2TLlog+TTlogk5．用Hannan-Quinn信息准则选择k值。log()22LLnLnTHQkTT9附：选择k值评价结果是建立VAR(2)模型。6.VAR模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。Yt+s=Ut+s+1Ut+s-1+2Ut+s-2+…+sUt+…s=tstUY10s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yjt对应的误差项ujt在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量yit在t+s期造成的影响。把s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数tjstiuy,,s=1,2,3,…称作脉冲响应函数（impulse-responsefunction），脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi,t+s对uj,t时一次冲击的响应过程。(2)方差分解MSE(ˆtstY)=E[(Yt+s-ˆtstY)(Yt+s-ˆtstY)']=+11'+22'+…+s-1s-1'（5）其中=E(utut')。下面考察每一个正交化误差项对MSE(ˆtstY)的贡献。把ut变换为正交化误差项vt。ut=Mvt=m1v1t+m2v2t+…+mNvNt=E(utut')=(m1v1t+m2v2t+…+mNvNt)(m1v1t+m2v2t+…+mNvNt)'=m1m1'Var(v1t)+m2m2'Var(v2t)+…+mNmN'Var(vNt)把用上式表达的代入(5)式，并合并同期项，MSE(ˆtstY)=122s-1s-11Var()('+''+''+...+'')Njtjjjjjjjjjvmmmmmmmm11则1s-1s-11s-1s-11Var()('+''+...+'')Var()('+''+...+'')jtjjjjjjNjtjjjjjjjvvmmmmmmmmmmmm表示正交化的第j个新息对前s期预测量ˆtstY方差的贡献百分比。附：脉冲响应函数图1油价对3个误差项的响应图2油产量对3个误差项的响应图3油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4油价的方差分解图5油产量的方差分解图6油储量的方差分解127.格兰杰（Granger）非因果性检验格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即(ytyt-1,…,xt-1,…)=(ytyt-1,…)则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把xt-1对yt存在非因果关系表述为xt（去掉下标-1）对yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。检验式（VAR模型方程之一）是111kktitiititiiyyxuH0:1=2=…=k=0。检验可用F统计量完成。()()uukFSSETkNrSSESSEF(k,T-kN)注意：滞后期k的选取是任意的。（1）以xt和yt为例，如果xt-1对yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果xt-1对yt不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。13附：格兰杰非因果性检验结果8.VAR模型与协整如果VAR模型Yt=1Yt-1+2Yt-1+…+kYt-k+ut,utIID(0,)的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。Yt=1*Yt-1+2*Yt-2+…+k*Yt-k+ut*（新）然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。向量误差修正模型（VEC）的表达式是Yt=(1+2+…+k-I)Yt-1-(2+3+…+k)Yt-1-(3+…+k)Yt-2-…-kYt-(k-1)+ut令j=-kjii1,j=1,2,…,k-1，=-0-I=kii1-I=1+2+…+k–I14则上式写为Yt=Yt-1+1Yt-1+2Yt-2+…+k-1Yt-(k-1)+ut根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是A†(L)Yt='Yt-1+d(L)ut其中A†(L)是多项式矩阵A(L)分离出因子(1-L)后降低一阶的多项式矩阵，d(L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。Yt-k有如下三种可能。1．当Yt的分量不存在协整关系，的特征根为零，=0。2．若rank()=N（满秩），保证Yt-k平稳的唯一一种可能是YtI(0)。3．当YtI(1)，若保证Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt的分量存在协整关系。例1：Yt-1='Yt-1=1112121rrNNrNr1111NrrNrN1,12,1,11ttNtNyyy=11111,11,1111,1,11111,11,111,1,11(...)(...)(...)(...)tNNtrrtrNNtNtNNtNrrtrNNtNyyyyyyyy15例2：设三个变量的VAR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系），tttyyy,3,2,1=8/34/18/58/14/12/14/11008/111,31,21,1tttyyy+tttuuu321代数形式是y1,t=-(1/2)[y1,t-1-(1/8)y2t-1]+(1/4)[y2,t-1-(1/4)y3t-1]+u1ty2,t=(1/8)[y1,t-1-(1/8)y2t-1]–(5/8)[y2,t-1-(1/4)y3t-1]+u2ty3,t=(1/4)[y1,t-1-(1/8)y2t-1]+(3/8)[y2,t-1-(1/4)y3t-1]+u3t9.VAR模型中协整向量的估计与检验检验协整关系的零假设是H0:rk()r或='统计量是LR=-2(logL(ˆ)r-logL(ˆ)u)=-T[Nrilog1(1-i)],r=0,1,…,N-1LR统计量在零假设0rN或“存在N-r个单位根”成立条件下不服从2分布。Johansen证明LR统计量渐近服从如下分布。tr10110'10)'()()'()()'(