第3讲-VAR模型与协整

VAR模型与协整南开大学数量经济研究所所长数量经济学专业博士生导师中国数量经济学会常务理事张晓峒[e-mail]（经济中国网）经济学人张晓峒计量经济学精品课程网址：．向量自回归（VAR）模型定义VAR模型是以向量形式建立的自回归模型。以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，y1,t=c1+11.1y1,t-1+12.1y2,t-1+u1ty2,t=c2+21.1y1,t-1+22.1y2,t-1+u2t其中u1t,u2tIID(0,2),Cov(u1t,u2t)=0。矩阵形式是ttyy21=12cc+1.221.211.121.111,21,1ttyy+ttuu21令Yt=ttyy21,c=12cc,1=1.221.211.121.11,ut=ttuu21则，Yt=c+1Yt-1+ut(1980年Sims提出向量自回归模型。这种模型不以经济理论为基础。)1．向量自回归（VAR）模型定义含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut,utIID(0,)其中Yt=(y1,ty2,t…yN,t)'c=(c1c2…cN)'j=jNNjNjNjNjjjNjj..2.1.2.22.21.1.12.11,j=1,2,…,kut=(u1tu2,t…uNt)',因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。1．向量自回归（VAR）模型定义VAR模型的特点是：（1）不严格的以经济理论为依据。（2）VAR模型对参数不施加零约束。（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。（7）VAR模型中每一个变量都必须具有平稳性。如果是非平稳的，则必须具有协整关系。1．向量自回归（VAR）模型定义VAR模型与联立方程模型的关系：实际上也可以认为VAR模型是由联立方程模型转化而来。对于任何一个联立方程模型，总可以把内生当期变量写在联立方程模型等号的左边，把内生滞后变量和外生变量写在联立方程模型等号的右边，如下式。AYt=D+BYt-1+FZt+vt其中Yt表示内生变量向量；Zt表示外生变量向量；vt表示误差项向量；A，D，B，F为模型的结构参数。用A-1左乘上式两侧，得Yt=A-1D+A-1BYt-1+A-1FZt+A-1vt令A-1D=c，A-1B=1，A-1F=H，A-1vt=ut，上式可写为Yt=c+1Yt-1+HZt+ut而上式正是带有外生变量Zt的VAR模型。2VAR模型稳定的条件先回顾单方程情形。以AR(2)过程yt=1yt-1+2yt-2+ut为例。改写为(1-1L-2L2)yt=(L)yt=utyt稳定的条件是(L)=0的根必须在单位圆以外。对于VAR模型，也用特征方程判别稳定性。以Yt=c+1Yt-1+ut为例，(I-1L)Yt=c+ut保持VAR模型稳定的条件是|I-1L|=0的根都在单位圆以外。|I–1L|=0称做相反的特征方程。2VAR模型稳定的条件以二变量（N=2），k=1的VAR模型为例ttyy21=8/54/12/18/51,21,1ttyy+ttuu21其中1=8/54/12/18/5为例分析稳定性。相反的特征方程是|I-1L|=LLLL)8/5()4/1()2/1()8/5(1001=LLLL)8/5(1)4/1()2/1()8/5(1=(1-(5/8)L)2-1/8L2=(1-0.978L)(1-0.27L)=0求解得：L1=1/0.978=1.022,L2=1/0.27=3.690。因为L1，L2都大于1，所以该VAR模型是稳定的。2VAR模型稳定的条件VAR模型稳定的另一种判别条件（充分与必要条件）是，特征方程|1-I|=0的根都在单位圆以内。特征方程|1-I|=0的根就是1的特征值。仍以上VAR模型为例，特征方程表达如下：|1-I|=008/54/12/18/5=8/54/12/18/5=0即(5/8-)2–1/8=(5/8-)2–2)8/1(=(0.978-)(0.271-)=0得1=0.9786,2=0.2714。1，2是特征方程|1-I|=0的根，是参数矩阵1的特征值。因为1=0.978,2=0.271，都小于1，该VAR模型是稳定的。2VAR模型稳定的条件注意：对于k1的k阶VAR模型可以通过附加伴随矩阵方程式的方法（companionform），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。给出k阶VAR模型，Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut再配上如下等式，Yt-1=Yt-1Yt-2=Yt-2…Yt-k+1=Yt-k+1把以上k个等式写成分块矩阵形式，1121NkkttttYYYY=1Nk000c+NkNkkk000000000IIIΠΠΠΠ1211321NkkttttYYYY+1Nkt000u2VAR模型稳定的条件1121NkkttttYYYY=1Nk000c+NkNkkk000000000IIIΠΠΠΠ1211321NkkttttYYYY+1Nkt000u其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令Xt=(YtYt-1…Yt-k+1)Nk1'C=(c00…0)Nk1'A=NkNkkk000000000IIIΠΠΠΠ121Ut=(ut00…0)Nk1'上式可写为Xt=C+AXt-1+Ut注意，k阶VAR模型用附加伴随矩阵方程式的方式表示成了一个Nk1阶向量的1阶VAR模型。2VAR模型稳定的条件例如，2变量2阶VAR模型的附加伴随矩阵式的变换形式是1ttYY=0c+0I2121ttYY+0tu其中等式的每一个元素（项）都表示一个41阶向量或44阶矩阵。例如，2变量3阶VAR模型的附加伴随矩阵式的变换形式是21tttYYY=00c+0000ΙΙ321321tttYYY+00tu其中等式的每一个元素（项）都表示一个61阶向量或66阶矩阵。2VAR模型稳定的条件VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程|A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中的I也是NkNk阶的。以2阶VAR模型的附加伴随矩阵式的变换为例，|I-AL|=L000III21=IIILLL21=I-1L-2L2=0的全部根必须在单位圆以外。对于k阶VAR模型的附加伴随矩阵式的变换形式，特征方程|I-1L-2L2-…-kLk|=0的全部根必须在单位圆以外。2VAR模型稳定的条件例8.2用以具体数字为系数的2变量、2阶VAR模型做进一步说明。有Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+ut其中，1=16/34/316/58/5,2=4/34/14/18/1附加伴随矩阵式的变换形式是1ttYY=0c+0I2121ttYY+0tu或121121ttttyyyy=1200cc+000010014/34/14/18/116/34/316/58/522211211ttttyyyy+0021ttuu或Xt=C+AXt-1+Ut2VAR模型稳定的条件因为A的阶数为44（注意，因为N=2，k=2，所以A的阶数为44），所以有4个特征根。特征方程是|A-I|=1000010000100001001000014/34/116/34/34/18/116/58/5=0100014/34/116/34/34/18/116/58/5=04个根见下表：根模1=1.0001.0002=0.9470.9473=0.380-0.144i0.4064=0.380-0.144i0.406因为有一个根为1，落在单位圆上，所以平稳性条件未能得到满足。VAR模型稳定的充分与必要条件是1的所有特征值都要在单位圆以内特征方程|1-I|=0的根就是1的特征值。3VAR模型的稳定性（stability）特征现在讨论VAR模型的稳定性特征。稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不消失，则系统是不稳定的。下面分析一阶VAR模型Yt=c+1Yt-1+ut。用迭代法得Yt=(I+1+12+…+1t-1)c+1tY0+101tiiut-iYt表示成了漂移项向量=(I+1+12+…+1t-1)c、初始值向量Y0和新息向量ut的函数。（1）当t时，(I+1+12+…+1t-1)=(I-1)-1。（2）当t，1t0。（3）当t时，101tiiΠ=(I-1)-1。4VAR模型滞后期k的选择（1）用LR统计量选择k值。（2）用赤池（Akaike）信息准则(AIC)选择k值。（日统计学家赤池弘次1973年提出）（3）用施瓦茨（Schwartz）准则(SC)选择k值。（4）用汉南奎因信息准则（HQ）选择k值。建立滞后2期的VAR模型是可以的。日本统计学家赤池弘次5VAR模型的脉冲响应函数和方差分解由于VAR模型参数的OLS估计量只具有一致性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。（1）脉冲响应函数。任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。Xt+s=Ut+s+1Ut+s-1+2Ut+s-2+…+sUt+…其中s=tstUX。把s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数tjstiuy,,s=1,2,3,…称作脉冲响应函数，脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以