第2章-逻辑代数和逻辑函数化简

第二章逻辑代数和逻辑函数化简2.1基本逻辑运算和复合逻辑运算2.2逻辑代数的基本定律及规则2.3逻辑函数的表示方法及其转换2.4逻辑函数的化简方法与逻辑2.1基本逻辑运算和复合逻辑运算或逻辑非逻辑ABBAYBAYAY数码0,1相反的逻辑状态1.与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。功能表2.1.1基本逻辑运算灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY真值表与逻辑的表示方法：000100011011功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY开关断用0表示,开关闭合用1表示灯亮用1表示,灭用0表示真值表逻辑函数式逻辑符号ABY&000100011011ABBAYABY见0为0全1为12.或逻辑：决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表011100011011ABY开关断用0表示,开关闭合用1表示灯亮用1表示,灭用0表示BAY真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥1见1为1全0为0例：根据输入波形画出输出波形ABY1见“0”为“0”，全“1”为“1”见“1”为“1”，全“0”为“0”&ABY11ABY2Y23.非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式AY逻辑符号非逻辑关系1001AY1开关A灯Y电源RAY(1)与非逻辑ABY1AB&1Y2.1.2复合逻辑运算真值表000100011011ABYY11110见0为1全1为0逻辑函数式逻辑符号(1)或非逻辑2.1.2复合逻辑运算真值表011100011011ABYY21000见1为0全0为1逻辑函数式逻辑符号BAY2AB2Y≥1(3)与或(非)逻辑(真值表略)CDABY3AB&CD3Y≥1CDABY3与或非逻辑与或逻辑(4)异或逻辑(5)同或逻辑(异或非)AB=14YBABABAY4011000011011AB=15YBAY5=A⊙BABY4ABBA100100011011ABY53.逻辑符号对照曾用符号美国符号ABYABYABYAYAY国标符号AB&BAYA1AYABYABBAY≥1国标符号曾用符号美国符号AB&BAYABYABYABYAB=1BAYABYABYABYABBAY≥1或：0+0=01+0=11+1=1与：0·0=00·1=01·1=1非：1001二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A非：0AAAA12.2.1逻辑代数的基本定律一、常量之间的关系(常量：0和1)2.2逻辑代数的基本定律及规则三、与普通代数相似的定理交换律ABBAABBA结合律)()(CBACBA)()(CBACBA分配律ACABCBA)()()(CABABCA证明公式))((CABABCA方法一：公式法CBBACAAACABA))((右式BCABACABCBCA)1(左式BCA证明公式))((CABABCA方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中)ABCCBBCABACA))((CABA0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等四、逻辑代数的一些特殊定理BABABABA同一律A+A=AA·A=A还原律AA证明：德摩根定理AB00011011BABA00011110ABBA110010101110BABABA011110001000相等相等德摩根定理五、若干常用公式BAAB(1)ABA(2)BAA(3)CAABBCCAAB(4)AAA)()(BBA)1(BA))((BAAAAABA推广BCAACAAB)(左BCAABCCAABCAABCAABBCDCAAB推论AABA)()(CABABCA分配律ABBABABABABA左)()(BABABBABBAAAABBA(5)即BA=A⊙B同理可证BAA⊙BBABABABA六、关于异或运算的一些公式异或同或BABABABAABA⊙B(1)交换律ABBA(2)结合律)()(CBACBA(3)分配律)(ACABCBABA=A⊙BBAA⊙B(4)常量和变量的异或运算AA1AA00AA1AA(5)因果互换律如果CBABCA则有ACBBCABCBBA0CABCABAA0证明2.2.2逻辑代数的基本规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。BABABCABCABCA)()()(CBBABCABBCAB)(CBACBACBABABAAA1ABAB1CABCAB1BABAACABCABABBABAAAA1CABCAB1)(例如：已知)(1CDCBAY)()(1DCCBAYCDCBAY2CDCBAY)(22.反演规则：求逻辑函数的反函数则将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保留不变Y3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”)()(1DCBCAY)(1CDCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=10AAAA1)(对偶式Y运算顺序：括号与或2.3.1逻辑表达式2.3逻辑函数的表示方法及其转换2.3.2真值表2.3.3卡诺图2.3.4逻辑图2.3.6逻辑函数表示方法间的相互转换2.3.5波形图完备函数的概念我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。2.3.1逻辑表达式或与式与或非式一.逻辑表达式的类型BCCAABY与或式CAAB与非-与非式或与非式CBCABA)()(CABACABA或非-或非式CAABCABA或非-或式))((CABA核心标准与或表达式)(A,B,CFYCBABCACABABCCAAB二.逻辑函数的标准形式)()(BBCACCAB标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项1.最小项的概念：包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。)(A,BFY(2变量共有4个最小项)BABABAAB)(A,B,C,DFY(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n个最小项)DCBADCBA…DABC…ABCDDCBA)(A,B,CFY(3变量共有8个最小项)CBACBACBABCACBACBACABABC1CBA1CBA对应规律：1原变量0反变量2.最小项的性质：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABCCBACBACBABCACBACBACABABC(1)任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1；ABC001ABC101(2)任意两个最小项的乘积为0；(3)全体最小项之和为1。3.最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用mi表示。对应规律：原变量1反变量0CBACBACBABCACBACBACABABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m74.最小项标准表达式CAABA,B,CFY)(BCACBAABCCAB3176mmmmm7,6,3,1任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。)()(BBCACCABY[例]写出下列函数的标准与或式：[解]或m6m7m1m32.3.2真值表ABCY00000101001110010111011100010111优点：直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。2.3.3卡诺图ABC010001111011110000优点：便于求出逻辑函数的最简与或表达式。缺点：只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。2.3.4逻辑图CABCABYABYC&&优点：最接近实际电路。缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。&ABBCAC≥12.3.5波形图输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形ABYABY优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。2.3.6逻辑函数表示方法间的相互转换一、真值表函数式逻辑图[例]设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。(1)真值表函数式ABCCABCBAY将真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得Y的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011100000111函数式ABCCABCBAY化简ACABY(2)函数式逻辑图ABY&C&≥1真值表函数式二、逻辑图ABBABAYABBABA)()(BABBAABABABA0110ABY00011011ABABAABBBAY&&&&2.4逻辑函数的化简法2.4.1关于逻辑函数化简的几个问题1.化简的标准（1）与项个数最少（2）每个与项中变量个数最少卡诺图法代数法2.化简的方法化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。2.4.2逻辑函数的代数化简法一、并项法:ABAABBACABABCYBAABBCBACABCBAABCY)()(CBCBACBBCAA)(CBACBA[例][例]（与或式最简与或式）公式定理二、吸收法：AABAEBDAABYEBDABABABCDCBABCAAY)()()()(DCBABCABCABCA[例][例][例]CDBCDAABYCDBAAB)(CDABABABBA三、消去法：BABAACBCAABYCBAAB)(CABABCABABCCBABABAY)()(BCBACBBA)()(CBACBAACCABABACBABA[例][例]2.4.3逻辑函数的卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图：最小项方格图(按循环码排列)iiiBBG1G2G1G0B2B1B0000000100G001001G002G001010011011010100110101111110101111100二变量的卡诺图(四个最小项)ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB01011.变量卡诺图的画法三变量的卡诺图：八个最小项ABC01000110111110卡诺图