余弦定理(公开课)PPT

一、实际应用问题BCA5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。60BAC思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？二、化为数学问题已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac三、证明问题﹚Abccbacos2222﹚)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.cABbCAaCB,,设﹚Baccabcos2222Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.cABbCAaCB,,设bac同理：ABCbcaDbcosCbsinCa-bcosC222(sin)(cos)cbCabC22222sin2coscosbCaabCbC2222cosababCBaccabcos2222同理：2222cosabcbcCABC当是直角三角形、钝角三角形呢？探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)22)0sin()cos(CbaCbcCbaCabCb22222sincos2cosCababcos222坐标法Baccabcos2222Abccbacos22222222coscababC则同理：余弦定理CBAbacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：角对边的平方等于两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系，从方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形的值和边、求角中，已知在例aCBAcb,30,32,3ABC.1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb223232323cos303CABabc60,Bcb90180CBA解决实际应用问题BCA5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。60BAC4960cos85258222BC解：7BC例2.在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形(依次求解A、B、C).解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A45B180180604575CAB631题型二、已知三角函数的三边解三角形22)13(622)13()6(2cos222222acbcaBCABabc3,1,2,__________ABCabcA变式训练：在三角形中，若则60例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断△ABC的形状题型三、判断三角形的形状解：由余弦定理得：0815426542cos1222222abcbaC）（是锐角C是锐角三角形中的最大角是根据大边对大角，是锐角，）知：）由（（ABCABCCC12变式训练：在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定AbcacbA2cos222推论：CBAbac知识提炼：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb思考在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？在已知三边和一个角的情况下：求另一个角余弦定理正弦定理㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：课外作业：P10A组3、4推论:数学思想：化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、不变量的思想