有趣的斐波那契数列

有趣的斐波那契数列谈起斐波那契数列，我想很多人会想到《达芬奇密码》中的故事：午夜,卢浮宫博物馆年迈的馆长被人杀害在大陈列馆的镶木地板上.在人生的最后时刻,馆长脱光了衣服,明白无误的用自己的身体摆成了达.芬奇名画维特鲁维人的样子,还在尸体旁边留下了一个令人难以捉摸的密码.符号学专家罗伯特.兰登与密码破译天才索菲.奈夫,在对一大堆怪异的密码进行整理的过程当中,发现一连串的线索竟然隐藏在达.芬奇的艺术作品当中。而这串密码就是斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...然而它们到底是怎样的一串数字呢？今天就让我们一起来认识一下吧！斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n=2，n∈N*）递推公式斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...[1]如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]显然这是一个线性递推数列。[1]通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n=3,n∈N*）待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n=3），求数列{an}的通项公式。解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。所以。an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。由式1，式2，可得。an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}。生活中的斐波那契数列生活中的斐波那契数列会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数与植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21………………………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。黄金分割、杨辉三角、兔子繁殖问题、艾略特波浪理论、人类文明的斐波那契演进总之，斐波那契数列在我们生活是很有趣并且很重要的数列。由于版面有限不再在此赘述！