华东交大-离散数学试卷一试题与答案

华东交大离散数学试题一与答案一、填空20%（每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{xExxBxNxxA且且（N：自然数集，E+正偶数）则BA{0，1，2，3，4，6}。2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为ACB)(。3．设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP的真值=1。4．公式PRSRP)()(的主合取范式为)()(RSPRSP。5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP在I下真值为1。6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2={1,1,1,3,2,2,2,4}。7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为R={a.b,a,c,a,d,b,d,c,d}IA。8．图的补图为ABC。9．设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：*abcdabcdabcdbcdacdabdabc那么代数系统A，*的幺元是a，有逆元的元素为a,b,c,d，它们的逆元分别为a,d,c,d。10．下图所示的偏序集中，是格的为c。二、选择20%（每小题2分）1、下列是真命题的有（C、D）A．}}{{}{aa；B．}}{,{}}{{；C．}},{{；D．}}{{}{。2、下列集合中相等的有（B、C）A．{4，3}；B．{，3，4}；C．{4，，3，3}；D．{3，4}。3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（C）个。A．23；B．32；C．332；D．223。4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A）A．若R，S是自反的，则SR是自反的；B．若R，S是反自反的，则SR是反自反的；C．若R，S是对称的，则SR是对称的；D．若R，S是传递的，则SR是传递的。5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsAptstsR则P（A）/R=（D）A．A；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（C）7、下列函数是双射的为（A）A．f:IE,f(x)=2x；B．f:NNN,f(n)=n,n+1；C．f:RI,f(x)=[x]；D．f:IN,f(x)=|x|。（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3的通路有（D）条。A．0；B．1；C．2；D．3。9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（B）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（A）个4度结点。A．1；B．2；C．3；D．4。三、证明26%1.R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当a,b和a,c在R中有.b,c在R中。（8分）2.f和g都是群G1,★到G2,*的同态映射，证明C,★是G1,★的一个子群。其中C=)}()(|{1xgxfGxx且(8分)3.G=V,E(|V|=v，|E|=e)是每一个面至少由k（k3）条边围成的连通平面图，则2)2(kvke，由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11分）四、逻辑推演16%用CP规则证明下题（每小题8分）1、FAFEDDCBA,2、)()())()((xxQxxPxQxPx五、计算18%1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={a,b,b,a,b,c,c,d}用矩阵运算求出R的传递闭包t(R)。（9分）2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,vvv及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。（９分）三、证明26%1、证：“”Xcba,,若Rc,a,b,a由R对称性知Ra,c,a,b，由R传递性得Rc,b“”若Rb,a，Rc,a有Rc,b任意Xba,，因Ra,a若Rb,aRa,b所以R是对称的。若Rb,a，Rcb,则Rcb,Rab,Rc,a即R是传递的。2、证Cba,，有)()(),()(bgbfagaf，又)()(,)()(1111bgbgbfbf)()()()(1111bgbgbfbfaf(★agbgagbfafb()(*)()(*)()111★)1ba★Cb1C,★是G1,★的子群。3、证：①设G有r个面，则rkFderii1)(2，即ker2。而2rev故keevrev22即得2)2(kvke。（8分）②彼得森图为10,15,5vek，这样2)2(kvke不成立，所以彼得森图非平面图。（3分）四、逻辑推演16%a)证明：①AP（附加前提）②BAT①I③DCBAP④DCT②③I⑤DT④I⑥EDT⑤I⑦FEDP⑧FT⑥⑦I⑨FACP2、证明①)(xxPP（附加前提）②)(cPUS①③))()((xQxPxP④)()(cQcPUS③⑤)(cQT②④I⑥)(xxQUG⑤⑦)()(xxQxxPCP五、计算18%b)解：0000100001010010RM，00000000101001012RRRMMM000000000101101023RRRMMM，000000001010010134RRRMMM0000100011111111432)(RRRRRtMMMMMt(R)={a,a,a,b,a,c,a,d,b,a,b,b,b,c.,b,d,c,d}c)解：用Prim算法求产生的最优树。算法略。结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。