-一元二次方程的解法(全)

共同回顾:一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0a≠03、判断一个方程是否是一元二次方程，按顺序要把握三点：①：方程是整式方程；②：只含有一个未知数③：可化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式1.判断下列方程是否一元二次方程？2．m何值时，方程是关于χ的一元二次方程?42(1)2750mmxmx03-2xx)1(40cx30yx212222＝）＝＋）＝－）01x3xx22＝－＋）mbax下列各数有平方根吗?若有,你能求出它的平方根吗?25;0;;2;-3;162543合作学习共同回顾一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什么？即（a≥0）则x叫做a的平方根，表示为：ax2ax例1解方程042x先移项，得42x所以24xx以上解某些一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例题解析：可见，上面的实际上就是求4的平方根。42x2;221xx初试锋芒用直接开平方法解下列方程：;02（4）212x（2）022x（1）;01212y025162x(3)将方程化成(b≥0）的形式,再求解bx2再显身手例2解方程:(1)(2)0412x09)2(122x将方程化成(b≥0）的形式,再求解bax2)(解下列方程：045t22;251662x;036552x;53242x;0491632x;0912x1、用直接开方法解方程：45221252322xx2、用直接开方法解方程：035392m31253m;0532mm取何值，无论此方程无解。你会变吗？002acax;02acxa;01acacx时，方程的根是当时，原方程无实数根。当02ac;313(2);34)1(22xx提问：下列方程有解吗？方程一定有解吗?用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，当b0时，原方程无解。归纳小结.0ax022bbbbx或（第2课时）用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：;0ax022bbbbx或根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以当b0时，原方程无解。知识回顾大胆猜测：使下列式子成立的x为多少？0)2()1(xx0)3)(2)(2(xx2,021xx3,221xx0)12)(23)(3(xx21,3221xxAB=0A=0或Ｂ＝０知识回顾解:240x例解方程。(直接开平方法):,4x.2,221xx例2：解方程x2-4=0.另解：原方程可变形为(x+2)(x－2)=0x+2=0或x－2=0∴x1=-2,x2=2我们观察可以发现可以使用平方差公式042x以上解某些一元二次方程的方法叫做因式分解法。x2－4=（x－2）（x＋2）初试锋芒解下列方程：（2）0942x（1）025162x例3解下列方程：(1)3(2)5(2)xxx2(2)9610xx)2(5)2(3)1(xxx)2(5)2(3xxx解：移项，得)53(x350)2(x0x+2=0或3x－5=0∴x1=-2,x2=2(2)9610xx解：原方程可变形为2310x（）310.x所以1.xx21所以=-3归纳：用因式分解法解一元二次方程的步骤1.方程右边不为零的化为。2.将方程左边分解成两个的乘积。3.至少一次因式为零，得到两个一元一次方程。4.两个就是原方程的解。零一次因式有一个一元一次方程的解例(x+3)(x－1)=5解：原方程可变形为(x－2)(x+4)=0x－2=0或x+4=0∴x1=2,x2=-4解题步骤演示方程右边化为零x2+2x－8=0左边分解成两个一次因式的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程两个一元一次方程的解就是原方程的解.1.1xxx原方程的解为，得以解：方程的两边同时除xx2)1(、这样解是否正确呢？方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的方程与原方程同解。拓展练习1：辨析2、下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？.48.462;83563)2)(5(18)2)(5(21xxxxxxxxxx或原方程的解为，得由，得由原方程化为解：解方程()解下列方程：2y2=3y(2)(2a－3)2=(a－2)(3a－4)(3)(1)(x＋1)(x+2)=2拓展练习2：解方程3)13(2)23(33)5(2xxxxx(4)(4x－3)2=(x+3)2用因式分解法解一元二次方程的步骤1.方程右边不为零的化为。2.将方程左边分解成两个的乘积。3.至少一次因式为零，得到两个一元一次方程。4.两个就是原方程的解。零一次因式有一个一元一次方程的解小结（第3课时）1、选择合理的方法解下列方程224x(1)(2)(3)216x2210x复习练习：２、请说出完全平方公式2xa2xa______22axx______22axx2a2a３、根据完全平方公式填空(格式如题(1))228_____(_____)xxx2210_____(_____)xxx(1)(2)(3)4245252x_______x25＝(______)2（±10）x±52(61)x2162xx参照第（1）题，推想一下第（2）题及第（3）题的解法(1)(2)(3)225xx上面，我们把方程变形为它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.225xx2(61)x随堂练习解下列方程：224102550xxxx（1）4；（2）.121225xxx例1解下列方程：(1)0132xx342xx(2)2430xx移项，得解：(1)224311.441.xxxx配方，得即221.x所以（）2121.xx所以或1231.xx所以或2223331.22xx（2）配方，得23535.2422xx即所以1135.223535.22xxx所以即，(1)(2)04842xx21302xx解下列方程：拓展练习想想怎样解？12117xxx2、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；请归纳配方法解一元二次方程的步骤拓展练习用配方法证明：代数式的值是正数2082xx小结：配方法也是一元二次方程常见的解法)0(02acbxax分两类进行讨论、111aa2.配方法的运用（第4课时）第23章一元二次方程配方法的步骤：1.化12.移项3.配方4.求解配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。知识回顾用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化成x2+px+q=0的形式。2.移项整理得x2+px=-q3.在方程x2+px=-q的两边同加上一次项系数p的一半的平方。x2+px+()2=-q+()24.用直接开平方法解方程(x+)2=-q知识回顾用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解:把方程两边都除以a,得x2+x+=0解得x=-±∴当b2-4ac≥0时,x+=±∵4a2＞0即(x+)2=配方，得x2+x+()2=-+()2即x=用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。移项，得x2+x=-例用公式法解方程2x2+x-6=0。解：这里a=2，b=1，c=-6，所以b2-4ac=12-4×2×(-6)=49.1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。用公式法的一般步骤：求根公式:x=4、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式x=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,b2-4ac≥0)24214917224bbacxa所以即x1=-2，x2=32（口答）填空：用公式法解方程5x2-4x-12=0。解：a=，b=，c=.b2-4ac==.x===.即x1=,x2=.5-4-12(-4)2-4×5×(-12)2562求根公式:x=(a≠0,b2-4ac≥0)(4)256254161065解:将方程化为一般式，得x2＋4x－2＝0∴x＝424226∴原方程的解是x1＝，x2=6262aacbb242用公式法解下列方程：x2＋4x＝2用公式法解方程：x2–x-=0解：方程两边同乘以3得2x2-3x-2=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.∴x=即x1=2,x2=-用公式法解方程：x2+3=2x解：移项，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2)2-4×1×3=0x1=x2===∴x===3x求根公式:x=(a≠0,b2-4ac≥0)×求根公式:x=由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)若b2-4ac≥0，得1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:用公式法解一元二次方程的一般步骤：小结4、写出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,b2-4ac≥0)x=思考题:1、用公式法解下列方程：（m为已知常数）222mmxx2、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解？一元二次方程的解法习题课（第5课时）第23章一元二次方程(1)直接开平方法(2)因式分解法提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式(3)配方法(4)公式法当b-4ac≥0时，x=aacbb242当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方ax2=b(a≠0)一直接开平方法依据：平方根的意义，即如果x2=a,那么x=.a这种方法称为直接开平方法。解题步骤：1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。2，利用平方根的意义，两边同时开平方。3，得到形如：x=.a的一元一次方程。4，写出方程的解x1=?,x2=?例1（3x-2）²-49=0例2（3x-4）²=（4x-3）²解：移项，得：（3x-2）²=49两边开平方，得：3x-2=±7解：两边开平方，得：3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x=-1，x=1例题讲解372所以x=35所以x1=3，x2=-二因式分解法3(2)5(2)xxx例3)2(5)2(3xxx解：移项，得(32)6(32)0xxx例41提公因式法=0解：提公因式得：(32)(6)0xx32060xx或123x26x提公因式得(35)(2)0xx35020xx或153x22x2平方差公式与完全平方公式220xa()()0xaxa形如运用平方差公式得：00xaxa或1xa2xa2220xaxa2()0xa12xxa12xxa形如的式子运用完全平方公式得：或例题讲解（1）29(2)16x解：原方程变形为2(1)0x324x直接开平方，得例5解下列方程:216(2)90x