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龙源期刊网“一笔画”与数学建模作者：李强强来源：《新教育时代·学生版》2017年第06期传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，“一笔画”问题就是如此。“一笔画”问题的提出来源于十八世纪著名的瑞士数学家欧拉，他为了证明了当时的哥尼斯堡城“七桥问题”不可能完成而研究发现的。而作为现代人而言，“一笔画”更多地被人们当作一款益智游戏。它的游戏规则非常简单，就是不抬笔根据图形画出所有的线条即可，但是经过一次的线不可以重复经过。学生对于“一笔画”其实从幼儿园就已经接触到了，但只是作为一款游戏看待，从没有从数学的角度去研究过。但当我们真正沉下心来研究与设计时，我发现“一笔画”知识是非常有利于孩子们数学模型思想的构建的。一、数学建模概述数学模型是将具体问题的基本属性抽象出来成为数学结构的一种近似反映是那种反映特定的具体实体内在规律性的数学结构。简单的讲就是将实际问题变为用数学语言描述的数学问题的过程。对应的数学问题就是数学模型。人们通过对该数学模型的求解来获得相应实际问题的解决方案。而数学建模就是建立这种数学模型的过程的缩略表示。二、“一笔画”与数学建模众所周知，任何数学定律的发现都是来源于生活并最终服务于生活，而数学模型刚好就是联系客观世界与数学的桥梁。1.发现现实问题在很久以前，欧洲有一座非常美丽的小城，她的名字叫哥尼斯堡。一条小河把哥尼斯堡分成了北岸、南岸、小岛A和小岛B四个地方，为了联系方便，人们在小河上修建了七座小桥。因为哥尼斯堡实在是太漂亮了，所以吸引了许多游客在这里游览观光。不知道是哪一位游客最先提出了这样一个问题：“一个人怎样能一次走遍这七座桥，并且每座桥只能走一次，不能重复。”这个问题好像不是很难，但是却没有一个人能够完成这个任务。这就是历史上有名的“七桥问题”。2.抽象数学问题数学家欧拉听说了“七桥问题”，他经过潜心研究，终于用一条数学规律证明了“一个人是不可能一次走遍这七座桥的”。而这条数学规律就是“一笔画”定理。欧拉把歌尼斯堡的四个地方看成四个点，把七座桥看成七条线，从研究“一个人能不能不重复的一次走完这七座桥”抽象为研究“我们能不能不重复的一笔画出一个图形”，成功的将现实问题转化成了数学问题。龙源期刊网解决实际问题从抽象图的结构作些分析可看出，除去起点或终点外，凡途经的点都应有进有出，即连结点的曲线必需是偶数条，这类点叫偶点。因为只有起点和终点才可能有进无出或有出无进，这时可能有奇数条曲线与这样的点连结，这样的点叫奇点。这说明要想一笔不重复地画出图形，奇点的个数要么0个要么是2个。而图中四个点都是奇点，因而图形不可能一笔画出。欧拉就是用“一笔画”作为七桥问题的模型，而解决了这个难题。三、数学模型的建构所谓数学建模是指反映特定问题或具体事物系统的数学关系结构，它不仅是一种高级的思维活动，一种极为复杂且应变能力很强的心理过程，更是一种通过“做数学”来学习数学的实践活动。欧拉正是应用了数学建模的方法解决了七桥问题，用框图表示为：本节课，我通过还原欧拉解决“七桥问题”的思路，帮助学生构建数学模型思想。尤其是在研究“一笔画不能问题”的过程中，运用了大量的时间，1.基本知识●不是连通图形不能一笔画成，连通图形可能一笔画成●奇点数大于2的连通图形不能一笔画奇点数等于2和奇点数等于0（全是偶点）的连通图形能一笔画●能够一笔画成的连通图形要按照一定的画法才能顺利一笔画成奇点数是2个的连通图形，要从一个奇点出发，另一个奇点结束全是偶点的连通图形，可以从任意一个奇点出发，最终回到这个点2.教学实施（1）连通图形通过动笔画一画试一试，初步感知不连通的图形不能一笔画成，连通的图形有可能一笔画成，既培养了学生的动手实践能力，又为后面探寻什么样的连通图形能够一笔画成，什么样的连通图形不可以一笔画成的规律埋下伏笔。（2）奇点和偶点龙源期刊网一个连通图形能否一笔画成，与这个图形中奇点与偶点的个数密切相关，为了方便孩子们探寻一笔画的规律，先用微课让孩子们了解奇点与偶点的概念，再通过找出图形中奇点与偶点的个数，引导学生探寻一笔画的规律。（3）一笔画画法通过探究连通图形中奇点与偶点的个数，学生们发现当奇点数大于2个时，应该图形不能一笔画出；当奇点数等于2个或全是偶点时，能够一笔画出。那么这些能够一笔画出的图形是不是怎么画都可以一笔画呢？学生在教师的引导下，又进行了二次探究。通过探究学生们发现：奇点数是2个的连通图形，要从一个奇点出发，另一个奇点结束；全是偶点的连通图形，可以从任意一个奇点出发，最终回到这个点。如果不按照这样的方法去画，就不能顺利的一笔画出。3.解决问题为了沟通“一笔画”知识与“七桥问题”的关系，培养孩子学以致用的学习态度，课的尾声，我通过课件适时呈现两者的联系，引导学生运用“一笔画”的规律解释“七桥问题”。并借自主设计改造“七桥问题”的契机，进一步巩固对“一笔画”规律的掌握。让学生体会了运用所学知识解决实际问题的乐趣和成就感。教学片段：师：同学们，我们刚才发现的这个规律啊，其实就是若干年前欧拉的那个发现。欧拉也正是运用了这个规律才成功的解决了“七桥问题”。下面我们就一起来看看，“七桥问题”和到底和我们今天学习的“一笔画”问题有什么关系。师：欧拉是把哥尼斯堡的四个小镇看成了四个点，把七座桥看成了七条线。要想研究“一个人能不能不重复地一次走完这七座桥”，其实就是在研究能不能“不重复地一笔画出这个图形”。现在你知道，为什么欧拉说“一个人是不可能一次走遍这七座桥”。生：因为这个图形中有4个奇点，当奇点数大于2的时候，这个图形是不能以笔画成的。师：这个同学真棒，不但正确掌握了判断一笔画的方法，还能活学活用，正确揭示了“七桥问题”。师：可是，哥尼斯堡的景色实在是太美了，游客想将美景尽收眼底又实在不愿意走重复的路线。这可怎么办？谁有办法了？龙源期刊网：拆除几座桥生2：再架几座桥师：老师听明白了，你们是想改造一下这些桥，是吧？生：是。师：好主意！你们想如何改造？生：把这个桥设计成一个奇点数等于0个或2个的连通图形，就行了。师：行吗？生：行。师：课下，我们按照这个同学的想法，重新设计一下这些桥，一定做到让所有游客满意。结语“七桥问题”的成功解决，至今已有二百余年了，仔细品味其中蕴含的数学思想和策略，仍有着重要而现实的教育意义。尤其是其中包括的建模思想更是现在课改中一个重要的核心素养点。数学模型能帮助我们更好地理解一个实际的问题，它最大的好处就是它扬弃了具体事物中的一切与研究目标无本质联系的各种具体的物质属性，是在一种纯粹状态下的数量、关系的结构，因此更具有普适性。而帮助学生建构模型思想，更是引领孩子学好数学重要的策略之一，作为一名数学教师我们应该灵活巧妙的将这种素养渗透到孩子们的数学学习中去，培养他逐步成为拥有极高数学素养的人。龙源期刊网