概率论第二章习题解答(全)

概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。解设赔付金额为X，则X是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律。解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：35541021C，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为22335511{3}10CPXCC若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10CPXCC若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10CPXCC一般地3521)(CCxXpx，其中21xC为最大号码是x的取法种类数，则随机变量X的分布律为X345xp101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36PX；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36PX；最小点数为3的共有7种，7{3}36PX；最小点数为4的共有5种，5{4}36PX；最小点数为5的共有3种，3{5}36PX；最小点数为6的共有1种，1{6}36PX于是其分布律为X123456kp11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，（1）求X的分布律；（2）画出分布律的图形。解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：315151413P，其概率为若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为313131211P其概率为13121122{0}15141335pX若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为1123213321312CCP其概率为32131212{1}15141335pX若取到的次品数为2，，其概率为22121{2}1{0}{1}1353535pXpXpX。于是其分布律为X012xp22351235135（2）分布律图形略。4进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1qp（01p），（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需要的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）。（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需要的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r，p为参数的巴斯卡分布或负二项分布。）解（1）X的取值为1,2,,,n，对每次试验而言，其概率或为1，或为q所以其分布律为X1234…n…kppqp2qp3qp…1nqp…(2)Y的取值为,1,,,rrn，对每次试验而言，其概率或为1，或为q所以其分布律为Yr1r2r…rk…kprp11rrCqp222rrCqp…kkrrkCqp…5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解（1）X服从31p的几何分布，其分布律为X123…kp31313231)32(2…(2)Y所有可能的取值为1,2，3.方法一31}1{Yp312132}2{Yp3112132}3{Yp方法二由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即31}3{}2{}1{YpYpYp即Y的分布律为Y123kp313131(3)}3,2{}3,1{}2,1{}{YXpYXpYXpYXp319231313131278}{}3,2{}3,1{}2,1{}{4iiXpXYpXYpXYpXYp31)32(31)32(3131)32(319231422ii81386.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且各次试验相互独立，于是)1.0,5(~BX（1）恰有2个设力被使用，即{2}X：0729.0)1.01(1.0}2{3225CXp（2）至少有3个设备被使用，即{3}X：}5{}4{}3{}3{XpXpXpXp55544523351.09.01.09.01.0CCC00856.0（3）至多有3个设备被使用，即{3}X：}5{}4{1}3{XpXpXp5554451.0)1.01(1.01CC99954.0（4）至少有一个设备被使用，即{1}X{1}1{0}pXpX5005)1.01(1.01C40951.07设事件A在每次试验中发生的概率为0.3，A发生不少于3次时指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解设A发生的次数为X，则(,0.3)XBn，5,7n，设B“指示灯发出信号”（1）5553(){3}(0.3)(0.7)kkkkPBPXC33244550555(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)CCC100.2704950.00810.70.00243016308或2514223220()1{}1(0.7)0.3(0.7)(0.3)(0.7)0.163kPBPXkCC同理可得（2）7753(){3}(0.3)(0.7)0353kkkkPBPXC或2716225770()1{}1(0.7)(0.3)(0.7)(0.3)(0.7)0.353kPBPXkCC8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。解记甲投中的次数为X，乙投中的次数为Y，则)6.0,3(~BX，)7.0,3(~BY，00333{0}(0.6)(0.4)(0.4)0.064pXC288.0)4.0)(6.0(}1{213CXp432.0)4.0()6.0(}2{223CXp33033{3}(0.6)(0.4)(0.6)0.216pXC同理，027.0)3.0(}0{3Yp189.0)3.0)(7.0(}1{213CYp441.0)3.0()7.0(}2{223CYp343.0)7.0(}3{3Yp若记A为事件“两人投中次数相等”，B为事件“甲比乙投中的次数多”，则}{}{},{)(3030iYpiXpiYiXpApii32076.00.0640.0270.2880.1890.4320.4410.2160.3430.0017280.0544320.1905120.07408832076.0又{1,0}{1}{0}0.2880.0270.007776PXYPXPY{2,0}{2}{0}0.4320.0270.011664PXYPXPY{3,0}{3}{0}0.2160.0270.005832PXYPXPY{2,1}{2}{1}0.4320.1890.081648PXYPXPY{3,1}{3}{1}0.2160.1890.040824PXYPXPY{3,2}{3}{2}0.2160.4410.095256PXYPXPY所以}{)(YXpBp}0,3{}0,2{}0,1{YXpYXpYXp{2,1}{3,1}pXYpXY{3,2}pXY0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.0952560.2439.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品，接受这批产品，次品大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率。（2）需作第二次检验的概率。（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。（5）这批产品被接受的概率解设X为“第一次检验出的次品数”，Y为“第二次检验出的次品数”，则)1.0,10(~BX，)1.0,5(~BY（1）这批产品第一次检验后接收，即没有发现次品，也就是X＝0，而349.0)9.0()9.0()1.0(}0{1090010CXp（2）需作第二次检验，即第一次检验发现次品数为1或2件：{12}X}2{}1{}21{XpXpXp210192281010101(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)iiiiCCC581.0（3）这批产品按第二次检验的标准接收，即在第二次取出的5件产品中没有次品：{0}Y59005)9.0()9.0()1.0(}0{CYp590.0（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过，即：{0,12}YX}21,0{XYp}21{}0{XpYp（两事件相互独立）581.0590.0343.0（5）})21,0{}0({XYXp343.0349.0692.0.10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）解（1）可看作是古典概型问题，总挑法数为4870C，则成功一次的挑法为441C，于是试验成功一次的概率的为481170pC.（2）设成功的次数为X，则)701,10(~BX47331010163.3)7011()7