傅十和：城市经济学讲义之单中心模型

傅十和《城市经济学讲义》2010.9单中心城市模型与城市内部空间结构1.1基本模型本章主要介绍静态的单中心城市模型(Moncentriccitymodel)，其内容主要来自Muth(1969)、Brueckner(1987)、Henderson(1985)、Fujita(1989)、Papageorgiou和Pine(1999)、Arnott和Stiglitz(1981)。更简单的分析参见O'Sullivan(2000)、Mills和Hamilton(1994)及DiPasquale和Wheaton(1996)等的有关章节。本节介绍的内容大多可以用图来分析，参见Kraus(2005)。我们首先要区分封闭城市(closedcity)和开放城市(opencity)。封闭城市指城市人口数固定，居民的效用水平由竞争均衡内生决定；开放城市假设城市之外的经济很大，该城市居民的效用水平必须和其他地区的一样，否则的话，会发生人口流动直至效用水平相同，所以开放城市意味着效用水平是外生的，但城市人口数量是内生的。这里只考虑封闭城市情形，因为对开放城市的分析方法相同且更容易。选择到城市居住和工作的家庭在给定的时间和收入约束下，面临着交通通达度(location,transportaccessibility)、空间（space,住房和土地规模）和与空间相随的自然与社会环境(Amenities)的选择。我们从昀简单的模型开始，首先只考虑交通通达度和住房、土地规模因素。单中心城市模型的基本假设：(1)在一个均质的平原上，有一个圆形的城市，圆心是中心商务区(centralbusinessdistrict,CBD)，假设CBD不占用任何土地;CBD被居住用地所环绕；(2)该城市有N个居民（或家庭），所有居民居住在该城市，所有就业机会都集中在CBD，因此居民必须从居住地点通勤到CBD上班。道路假设为从CBD开始的高密度的放射状结构；假设x是离CBD的半径距离，T是不变的每单位距离的往返程的交通费用；(3)所有居民都相同，他们具有同样的效用函数、劳动技术、工作时间和收入y；(4)居住在区位x的居民消费组合商品c(x)和住房；假设组合商品的价格为1，每单位住房面积租金为R(x);(注：通常住房消费指对住房服务的消费，住房服务指住房结构所提供的居住、私密性等服务流量R(x)为单位住房服务的价格。）qx(5)居民的效用函数为，[(),()]Ucxqx0U，0U，′代表一阶导数；这里假设区位(location)本身不提供效用或者居民对区位本身没有特别的偏好；(6)住房生产函数是拟凹的、一次齐次(规模收益不变)的，住房Hx的生产需利用土地投入Lx和资本投入Kx，所以住房生产函数为：HxHKx,Lx;的土地租金为r(x)，城市边界以外的土地为农业用地，其土地租金为rA;x(7)城市内区位1(8)资本市场是完全竞争的，通行的市场利率为i。个居民面临的昀优化问题是：单c,q,xMaxUcx,qx,s.t.cxRxqxy−Tx.意到该模型与一般的消费者效用昀大化模型的区别：住房租金R()是由模型内生决定的。一阶x注条件为：cU，（1）x()qUR，（2）()cqUcUqTcRqRq，（3）3）意味着市场均衡条件：在市场均衡时，家庭对于已经选择的区位已经很满意了，变动区位或（迁移并不能带来更高的效用水平，即dUdx0,说明在空间均衡时，居民在任意区位都能获得同样的效用水平。为了更好地理解（3），注意到（1）和（2）代入到（3）可以推出：'()()TRxqx，（4）上条件称为Muth条件或空间均衡条件以。这可以解释为：在竞争均衡时，居民对于任何区位都是无差异的，因为所有居民在均衡时都得到相同的效用水平。当位于x的居民向外移动一单位距离时，交通费增加T，但要求住房租金支出的减少R′xqx恰好可以补偿交通费的增加才能使该居民效用水平不变。'()Rx称为住房租金梯度（housingrentgradient)。由此我们得出第一个结论：,即'()0Rx。结论1：住房租金随离CBD的距离的增加而递减代表均衡时的住房消费量，R∗代表均衡住房租金,U*q用代表均衡时的效用水平，则均衡时马（5）接效用函数为歇尔需求函数等于(,,,)[(,,,),].qxUyTqRxUyTyTxVR∗x,U,y,T,y−TxU.R∗x,U,y,T间是单个居民在获得效用水平U时能支付的昀高房租，所以R∗x,U,y,T被称作竞ntforhousing)。投房租(Bidrex求导可以推出：从间接效用函数两边对2V1∂R∗∂x−TV20,所以21.TVRxV（6）据等式（(,)(,)pyVpyxVpyRoy(需求量)），(6)可写成根.(,,,)RTxqxUyT（7）（5）对x求导，利用（7），再利用斯拉茨基方程所以可以推出对1212()0.qRqTqxxRqqqxRqxR（8）意到斯拉茨基方程11|,qUyqqq注(8)昀后运用了结论（1）和空间均衡时的纯替代效应，因为样的效用，当而递增。：均衡时所有居民得到同区位改变时，租金改变，预算线斜率改变，只存在替代效应而无收入效应。由此可以得到结论（2）：论2：住房消费量随离CBD的距离的增加结合结论（1）和（2）对(4)两边求导再利用(8))可以得出结2()()0TRxqxq是我们得出结论（3）：的，离CBD越近，住房租金增加得越快,或者住房租金曲线斜率越大，于结论（3）：住房租金梯度是凸即R′′x0。一下步将引进住房生产部门。我们假设住房生产函数是一次齐次的，所以住房生产函数可以写成紧凑形式：HxHKx,LxLxHKxLx,1Lxhsx中其3sxKxLx可以视为建筑密度(Structuraldensity)。由生产函数的拟凹性可知：hh。(Recalltheneoclassicalproductionfunctioningrowththeory.)′s0,′′s0竞争均衡意味着住房生产者获得零利润，土地的边际生产力等于土地租金，资本的边际生产力等于通行的市场利率，因此从住房生产企业的利润昀大化问题很容易推出以下一阶条件：MaxRHK,L−iK−rLRLhs−iK−rL,()0()(Hx),RhhsrxL（9）()0Hx,RhiK（10）零利润条件(或者利用欧拉公式)意味着()0RLhsiKrL.(11)从(11)可知()()(())()rxRxhsxisx(12)(12)两边对x求导可得:()0rxRhRhsisRh，（13）(13)第二步利用了(10).由(13)可以得出结论4:结论4：土地租金随离CBD的距离的增加而递减,即。r′x0也称为土地租金梯度。对(10)两边对r′xx求导可得出:R′h′Rh′′s′0,也就是()0RhsxRh.（14）由(14)可以得到结论5:结论5：居住建筑密度随离CBD的距离的增加而递减。(13)两边对x求导再利用结论4和结论5可得()()()0rxRxhRhsx（15）(15)表明:结论6：土地租金梯度是凸的，离CBD越近，土地租金的递增就越快;离CBD越远，土地租金的递4减就越慢。定义在区位x的户密度Dx为：住在区位x的住户的数量区位x的居住用地面积，或()()(())().()()HxqxhsxDxLxqx（16）对（16）两边求导可得：21()()0Dxhsqhqq.（17）于是我们可以得出结论7：结论7：户密度随离CBD的距离的增加而递减。定义为生产住房的平均成本函数，因为住房生产函数具有规模收益不变，所以平均成本又等于单位成本。零利润意味着住房租金等于平均成本，即：Ci,rx()()(,())()()()()()CLxRxCirxRxrxRxrxrHx（18）上面昀后一个等式运用了Shepard引理。对(18)式进行一些变换：()()()()()()()()()1()(),()()()()()()()LxrxRxHxrxRxHxRxRxRxRxrxLxrxRxRxRxRx（19）LxrxRxHx是土地租金在住房租金中所占的比重，小于1。因此由(19)式可得出结论8：结论8：土地租金随距离变动而变动的幅度要大于房租随距离的变动幅度。结论8意味着土地租金的距离弹性要大于房租的距离弹性，或者说土地租金梯度比住房租金梯度更陡。下一个结论是关于建筑密度的距离弹性和土地租金的距离弹性之间的关系：()()()()()()()()rxirxrxiidKxdsdsrxsxsxLxddxdi()()()()()()()()()rxirxisxdsrxrxsxdsxrxrx.（20）是土地－资本的替代弹性，经验检验结果大约0.7。因此有如下结论9：结论9：建筑密度的距离弹性和土地租金的距离弹性之比等于土地－资本的替代弹性。5结论9意味着土地－资本的替代弹性越大，建筑密度的空间差异就越大。我们昀后要得出的一个结论是关于总级差地租和总交通成本的关系。为简化问题，假设每个居民消费单位土地，则城市人口为：Nb2，是城市半径。由于土地租金的差异来自交通成本的差异，所以在均衡时土地租金函数满足如下边界条件：brbrA.利用土地租金梯度函数r′x−T可以解出土地租金函数是：rxTb−xrA.紧邻CBD附近的住宅用地的租金为r0rATb.总交通成本为：0b2xTxdx23Tb3.定义城市级差地租为城市地租与城市边界土地租金的差额，则总城市级差地租为：0b2xrxdx−b2rA13Tb3.总城市级差地租恰好是总交通成本的一半。于是我们得出有关的昀后一个结论：结论10：在封闭城市中，如果居民消费单位土地量，如果交通成本函数是线性的，那么均衡时总级差地租等于总交通成本的一半。结论10是个非常有用的结论，我们在以后分析昀优城市规模和亨利乔治定理时要运用到这种分析方法。关于总级差地租和总交通成本的一般关系，参见Arnott(1981)的论文。封闭的单中心城市模型的均衡条件除了Muth条件外，还有另外两个：(1)在城市边界xb，土地的租金等于农业用地的租金：(,,,)ArbUTyr；(21)(2)整个城市区域正好容纳给定的N个居民：02()bxDxdxN.(22)内生变量b,U以及r就可以通过试错迭代法求出来。∗x,s∗x,D∗x如果城市是开放城市，那么城市人口由人口迁移直至效用水平与其他城市一样时决定的。因此U是已知的，从而效用昀大化问题可以直接求出从(21）可以求出城市边界，从(22）可以求出城市人口规模。r∗x，q∗x.6我们通过一个简单的单中心城市模型得出10个基本结论，这10个基本结论来自许多基本假设，但它们比较准确地描述了城市的内部结构，我们确实观察到房租、地租、建筑密度、人口密度随远离市中心而递减，许多计量检验结果也证实了单中心城市模型的预测力。单中心城市模型均衡的另外一个特点是由于租金在不同空间位置不同，如果土地需求的收入弹性为正，面临土地租金较高的消费者其收入的边际效用较低，面临土地租金较低的消费者其收入的边际效用较高。在昀大化社会福利时，同样的消费者会得到不同的对待(unequal-treatmentofequals),面临土地租金较低的消费者应该得到更多的转移支付(Wildasin,1986).附录：1.Adifferentiablefunction()fxforwhichonaninterva