初中数学二次函数做题技巧

实用文档文案大全初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^实用文档文案大全2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)中考数学精选例题解析：一次函数（1）知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：【例1】二次函数cbxaxy2的图像如图所示，那么abc、acb42、ba2、cba24这四个代数式中，值为正的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个解析：∵abx2＜1∴ba2＞0答案：A评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定acb42的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定ba2、cba、cba的符号。【例2】已知0cba，a≠0，把抛物线cbxaxy2向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。分析：①由0cba可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为2)2(xay，则原抛物线的解析式为yx例1图-11O实用文档文案大全1)52(2xay，又易知原抛物线过点（1，0）∴1)521(02a，解得41a∴原抛物线的解析式为：1)3(412xy评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；探索与创新：【问题】已知，抛物线22)1(ttxay（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线122xxy的顶点是B。（1）判断点A是否在抛物线122xxy上，为什么？（2）如果抛物线22)1(ttxay经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线22)1(ttxay的顶点A（1t，2t），而1tx当时，222)11()1(12xxxxy＝2t，所以点A在抛物线122xxy上。（2）①顶点B（1，0），0)11(22tta，∵0t，∴1a；②设抛物线22)1(ttxay与x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（12t，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，)1(12tt，解得1t或0t（舍）；当点C在点B的右边时，1)1(2tt，解得1t或0t（舍）。故1t。评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数cbxaxy2的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；yx问题图OB第1题图yx-21CBAO实用文档文案大全②24bac；③1bac；④02ba；⑤acOBOA；⑥024cba。其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个2、二次函数cbxxy2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122xxy，则b与c分别等于（）A、6、4B、－8、14C、4、6D、－8、－143、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高4h，D为BC上一点，EF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC致的距离为x，△DEF的面积为y，那么y关于x的函数图像大是（）xy第3题图2442Oxy第3题图2442Oxy第3题图2442Oxy第3题图2442OABCD4、若抛物线2axy与四条直线1x，2x，1y，2y围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（）A、41≤a≤1B、21≤a≤2C、21≤a≤1D、41≤a≤25、如图，一次函数bkxy与二次函数cbxaxy2的大致图像是（）xy第3题图Oxy第3题图Oxy第3题图Oxy第3题图OABCD二、填空题：1、若抛物线232)1(2mmxxmy的最低点在x轴上，则m的值为。2、二次函数542mxxy，当2x时，y随x的增大而减小；当2x时，y随x的增大而增大。则当1x时，y的值是。第3题图FEDCBA实用文档文案大全3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。4、已知抛物线nmxxmy4)2(22的对称轴是2x，且它的最高点在直线121xy上，则它的顶点为，n＝。三、解答题：1、已知函数mxmxy)2(2的图像过点（－1，15），设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且1ABCS，求点C的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？tS3456-1-2-3S(万元)t(月)O43211第25题图2第19题图1O2Oxy第2题图（月）（万元）xy第4题图ODCBA3、抛物线2xy，221xy和直线ax（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线bxy2与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合？4、如图，抛物线taxaxy42与x轴的一个交点为A（－1，0）。（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案实用文档文案大全一、选择题：BCDDC二、填空题：1、2；2、－7；3、1)2(212xy；4、（2，2），2n；三、解答题：1、C（23，1）或（23，1）、（3，－1）2、（1）ttS2212；（2）10月；（3）5.5万元3、（1）xy42；（2）－3≤b≤04、（1）B（－3，0）；（2）342xxy或342xxy；（3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，21），使△APE的周长最小。中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例1】已抛物线1)2()1(2xmxmy（m为实数）。（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式