利用向量知识求线线角-线面角-二面角的大小

第1页直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。一、1个公式公式12coscoscosqqq=中涉及三个角，q是指平面的斜线l与平面内过斜足且不同于射影的直线m所在所成的角，1q是指l与其射影'l所成的角，2q是指'l与m所成的角.其中210cos1,.qqq由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角lab--的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OAOB、，O为垂足，则AOBÐ叫做二面角lab--的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a和其射影上取向量'a(注意方向，夹角为锐角)，则|'|cos,'|||'|aaaaaa×=×，这里a、'a形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a，并求出平面的法向量n，所求夹角记为q，则||sin|cos,|||||anananq×==×，所以||arcsin||||ananq×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角.(2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cosSSq=射投其中为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.第2页(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量nm,，利用公式||||,cosnmnmmm求出平面角或其补角的余弦值，再数形结合确定二面角的大小.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。（1）异面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引/a∥a，/b∥b，则/a，/b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围：(0,]2。求法：①把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。②运用向量：在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则cos|cos,|ABCD。例3、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：PO平面ABCD，POBD，又,2,2PBPDBOPO，由平面几何知识得：1,3,6ODPDPB（Ⅰ）过D做//DEBC交于AB于E，连结PE，则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，四边形ABCD是等腰梯形，1,OCOD2OBOA，OAOB，5,22,2BCABCD，又//ABDC，四边形EBCD是平行四边形。5,2EDBCBECD，E是AB的中点，且2AE，又6PAPB，PEA为直角三角形，22622PEPAAE在PED中，由余弦定理得222354215cos215235PDDEPEPDEPDDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为21515解法二：PO平面ABCD，POBD，又PBPD，2,2BOPO，由平面几何知识得：1,2ODOCBOAO以O为原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,1,0)D，(0,0,2)P（Ⅰ）(0,1,2)PD，(1,2,0)BC，3,5,2PDBCPDBC。若PD与BC所成的角为，则cos|cos,|||PDBCPDBCPDBC21515。故直线PD与BC所成的角的余弦值为21515（2）直线a与平面角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。第3页直线与平面所成角的范围为：[0,]2。求法：①求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。②运用向量：设n是平面的法向量，A、B是直线m上的点，如果直线m与平面所成的角为，则sin|cos,|ABn。例4、（07湖北•理）如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=20。当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；解：（Ⅰ）以CACBCV，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan222aaCAaBaDVa，，，，，，，，，，，，，，，设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为()nxyz，，，则由00nABnVD．得02tan0222axayaaxyaz，．可取(112cot)n，，，又(00)BCa，，，于是22sin||sin2||||22cotnBCanBCa，π02∵，0sin1∴，20sin2．又π02≤≤，π04∴．即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为π04，．（3）二面角l：从一条直线l出发的两个半平面所组成的几何图形，叫二面角l。二面角l的范围为[0,)。求二面角l大小：①找出二面角的平面角，然后利用解三角形来求出。②利用面积射影定理。③运用向量：从相交棱上一点（或两点）出发，找与相交棱方向向量n垂直的两个向量a、b，则a、b这两个向量所成的角的大小,ab等于二面角的大小。例5（06年全国Ⅱ）如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．解：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设(1,0,0)A，则(0,1,0)B，(1,0,0)C，1(1,0,2)A，(0,1,1)D，设M分AD的比为，则M1(,,)111，而(0,0,1)E，11(,,)111EM，(1,1,1)AD，由112(,,)(1,1,1)011111EMAD，2，所以121(,,)333ME，M122(,,)333;ADBCVxyzABCDEA1B1C1ABCDEA1B1C1Ozxy第4页又1224(,,)333MA，(1,1,1)AD，1224(,,)(1,1,1)0333MAAD。由1111cos,2||||MAMEMAMEMAME，1,[0,]MAME，知1,3MAME，即二面角A1－AD－C1的大小为3。以上是我在日常教学中的一点体会，也是处理立体几何中此类问题比较适用的方法，可以说简单明了，希望能对你有益，祝你高考顺利，一切如愿。