2.2.1平面向量的数乘运算及其几何意义

向量的加法(三角形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.ab作法:在平面中任取一点O,aAbB过O作OA=a则OB=a+b.过A作AB=bo向量共线时的加法abbaabba向量的加法(平行四边形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.a作法:在平面中任取一点o,oaAbBb以OA,OB为边作平行四边形a+bC过O作OA=a过O作OB=b则对角线OC=a+b向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,oaAbBa-b过O作OA=a过O作OB=b则BA=a-b§2.2.4向量数乘=a3ABCDa++aaaa(-)(-)(-)a3-ABCDaaa++＝相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化?aaaOABC3a-3a-a-a-aPQMNa一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0a≠0λa中实数的λ,叫做向量a的系数复习回顾:实数乘法的运算律1、交换律：ab=ba2、结合律：a(bc)=(ab)c=b(ac）3、分配律：a(b+c）=ab+acaa2a6)2(3a一般地:)2(3aa6=aa）（）（abba)(2baa2b2baba22)(2一般地:baba）（aa5a2a3一般地：aaa32)32(aaa）（向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（），向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1计算下列各式a21)2();(3)(2baba))(())((babaaaaa)1()212(21)2(bababababa22(1)(2)(3)解:(1)babbaababababa5)32()32(3322)(3)(2(2))()()(babababa）（原式(3)例题分析计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25反馈演练))(())()(4(2121bcttbcttctbt2122:思考?,),0()1(位置关系如何则若baaab?),0(//)2(是否成立则若abaab//ba成立向量共线定理：0.),(,ababa向量与共线当且仅唯一一个当有实数使思考:1)为什么要是非零向量?a2)可以是零向量吗?bab即与共线ba(0)a例2如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线。ADECBBCAB33BCAB3AC3∴与共线．AEACDEADAE解：问题:如果把3都换成k(k≠0),结论会有什么变化?例3.如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO证明三点共线的方法:总结:AB=λBC且有公共点ＢA,B,C三点共线121212122362348:eeABeeBCeeCDeeAB已知两个非零向量和不共线，如果，，，求证、、D三点共线.设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.12122,3,ABekeCBee12,ee122CDee例5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且，你能用、来表示。,ABaADbabMAMBMCMD、、和ABDCMab二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线课堂小结：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线,,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba4141(1)(2)ABCDFEDCBAOab(3)如图,已知正六边形ABCDEF中,则等于(),aABbBDBC)(21.baAbaC21.)(21.abB)(21.baD若其中为已知向量，则未知向量＿＿＿＿.0)3(21)31(2bybcayba、y(4)Dcba7171214练习:若3m+2n=a,m-2n=b,其中,b是已知向量,求m,n分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记①，②bnm393②*3得③,113111ban①-③得