线性代数教材

1第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组.为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n阶，即讨论n阶行列式的问题.为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法.因此，共有6123种放法.这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素.上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.有引例的结果可知P3=3.2.1=6.2为了得出计算Pn的公式，可以仿照引例进行讨论：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；又从剩下的n－1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法.于是Pn=n.（n－1）.….3.2.1=n!.对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设nppp21为这n个自然数的一个排列，考虑元素),,2,1(nipi，如果比ip大的且排在ip前面的元素有it个，就说ip这个元素的逆序数是it.全体元素的逆序数之总和niinttttt121，即是这个排列的逆序数.例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1；5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3；4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；于是排列的逆序数为513010t.§2n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321pppaaa.这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321ppp，它是1、2、3三个数的某个排列.这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。②各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.4因此各项所带的正负号可以表示为t)1(，其中t为列标排列的逆序数.总之，三阶行列式可以写成321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa，其中t为排列321ppp的逆序数，表示对1、2、3三个数的所有排列321ppp取和.仿此，我们可以把行列式推广到一般情形.定义设有2n个数，排成n行n列的表,212222111211nnnnnnaaaaaaaaa作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号t)1(；得到形如)2()1(2121nnppptaaa的项，其中nppp21为自然数n,,2,1的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有!n个，因而形如（2）式的项共有!n项.5所有这!n项的代数和nnppptaaa2121)1(称为n阶行列式，记作nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211，简记作)det(ija.数ija称为行列式的元素.按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的.当1n时，aa||，注意这里||a不是a的绝对值.例2证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是i，未写出的元素都是0）nn2121；nnnn212)1(21)1(.6证第一式是显然的，下面证第二式.若记,1,iniia则依行列式定义,)1()1(2111,2111,2121ntnnntnnnnaaaaaa其中t为排列21)1(nn的逆序数，故2)1()1(210nnnt.证毕对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角行列式，它的值与对角行列式一样.例3证明下三角行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110.证由于当ij时，0ija，故D中可能不为0的元素iipa，其下标应有ipi，即.,,2,121npppn在所有排列nppp21中，能满足上述关系的排列只有一个自然7排列n12，所以D中可能不为0的项只有一项nntaaa2211)1(，此项的符号1)1()1(0t，所以nnaaaD2211.例4设nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110kkkkijaaaaaD11111)det(nnnnijbbbbbD11112)det(证明21DDD.证记)det(ijdD，其中ijijad，),,1;,,1(kjki8ijjkikbd,，),,1;,,1(njni.考察D的一般项nrnkrkkrrtkkkdddd,1,111)1(,由于当kjki,时，0jid，因此krr,,1只有在k,,1中选取时，该项才可能不为零.而当krr,,1在k,,1中选取时，nkkrr,,1只能在nkk,,1中选取.于是D中可能不为零的项可以记作nknqqkpptbbaa1111)1(.这里，krqrpkiii1,，而l为排列)()(11nkqkqkpp的逆序数.以t、s分别表示排列kpp1及nqq1的逆序数，应有stl.于是nnkknnkkqqnqqsppkpptqqnqqkppstppbbaabbaaD111111111111)1()1()1(9.)1()1(2121211111DDDaaDaakkkkppkpptppkppt§3对换为了研究n阶行列式的性质，我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系.在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证先证相邻对换的情形.设排列为mlbabbaa11，对换a与b，变为mlbbabaa11.显然，laa1；mbb1这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a、b两元素的逆序数改变为：当ba时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变；当ba时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列mlbabbaa11与排列mlbbabaa11的奇偶性不同.再证一般对换的情形.设排列为nmlcbcbabaa111，把它作m次相邻对换，调成nmlccbabbaa111，再作1m次相邻对换，调成10nmlcacbbbaa111.总之，经过12m次相邻对换，排列nmlcbcbabaa111调成排列nmlcacbbbaa111，所以这两个排列的奇偶性相反.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证由定理1知对换的次数就是排列奇偶性变化的次数，而标准排列是偶排列（逆序数是0），因此得知推论成立.证毕利用定理1，我们来讨论行列式定义的另一种表示法.对于行列式的任一项njinpjpipptaaaa11)1(，其中nji1为自然排列，t为排列njipppp1的逆序数，对换元素iipa与jjpa成nijnpipjpptaaaa11)1(，这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列nij1的逆序数为1t，则tt)1()1(1.故1)1()1(trt，于是nijnjinpipjpptrnpjpipptaaaaaaaa11111)1()1(.这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作出了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性.经过一次对换如此，经过多次对换还是如此.于是，经过11若干次对换，使：列标排列nppp21（逆序数为t）变为自然排列（逆序数为0）；行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列，设此新排列为nqqq21，其逆序数为s，则有nqqqsnppptnnaaaaaa21212121)1()1(.又，若jpi，则iqj（即jqjiipjiaaa）.可见排列nqqq21由排列nppp21所唯一确定.由此可得定理2n阶行列式也可定义为nppptnaaaD2121)1(，其中t为行标排列nppp21的逆序数.证按行列式定义有nnpppptaaaaD321321)1(，记npppptnaaaaD3211321)1(.按上面讨论知：对于D中任一项nnpppptaaaa321321)1(，总有且仅有1D中的某一项nqqqqsnaaaa321321)1(与之对应并相等；反之，对于1D中的任一项npppptnaaaa321321)1(，也总有且仅有D中12的某一项nnqqqqsaaaa321321)1(与之对应并相等，于是D与1D中的项可以一一对应并相等，从而1DD.§4行列式的性质记nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211，nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111，行列式D称为行列式D的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等.证记)det(ijaD的转置行列式nnnnnnbbbbbbbbbD212222111211，即),,2,1,(,njiabjiij，按定义nppptnppptnnaaabbbD21212121)1()1(.而由定理2，有13nppptnaaaD2121)1(，故DD.证毕由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.性质2互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号.证设行列式nnnnnnbbbbbbbbbD2122221112111是由行列式)det(ijaD交换ji,两行得到的，即当jik,时，kpkpab；当jik,时，jpipab，ipjpab.于是,)1()1()1(1111111nij