三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理

第1页共2页三余弦定理·三垂线定理·三正弦定理三余弦定理（最小角定理或爪子定理）设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(cos∠BAC和cos∠OAB只能是锐角）斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值．证明：如上图，自点O作OB⊥AB于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角形．OAACABACOAABcos,cos,cos2121coscoscos辅助记忆：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。三垂线定理（三余弦定理的特殊情况）平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。第2页共2页三正弦定理设二面角M－AB－N的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则sin=sin·sin（如图）证明：如上图，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直线OB⊥二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．于是，sin=ACCO，sin=BCCO，sin=ACBCsin=sin·sin附：