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预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．2.2组合第一课时组合与组合数公式1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．合成一组2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法组合数公式乘积式阶乘式性质备注CmnCmn＝＝Cmn＝Cmn＝，Cmn＋1＝①n，m∈N*且m≤n，②规定：C0n＝1所有不同组合AmnAmmn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！n！m！(n－m)！Cn－mnCmn＋Cm－1n[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60.()×√√×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝.答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信；(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题.有关组合数的计算与证明[典例](1)计算C410－C37·A33；(2)证明：mCmn＝nCm－1n－1.[解](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：mCmn＝m·n！m！(n－m)！＝n·(n－1)！(m－1)！(n－m)！＝n·(n－1)！(m－1)！(n－m)！＝nCm－1n－1.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mCmn－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝Cmn进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．[活学活用]1．计算：C38－n3n＋C3nn＋21的值．解：∵38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10.∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466.2．求使3Cx－7x－3＝5A2x－4成立的x值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为3·(x－3)！(x－7)！4！＝5·(x－4)！(x－6)！，即3(x－3)4！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11时原式成立．3．证明下列各等式．(1)Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1；(2)C0n＋C1n＋1＋C2n＋2…＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m.解：(1)右边＝m＋1n＋1·(n＋1)！(m＋1)！[(n＋1)－(m＋1)]！＝m＋1n＋1·(n＋1)！(m＋1)！(n－m)！＝n！m！(n－m)！＝Cmn＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C0n＋1＋C1n＋1)＋C2n＋2＋C3n＋3＋…＋Cm－1n＋m－1＝(C1n＋2＋C2n＋2)＋C3n＋3＋…＋Cm－1n＋m－1＝(C2n＋3＋C3n＋3)＋…＋Cm－1n＋m－1＝(C3n＋4＋C4n＋4)＋…＋Cm－1n＋m－1＝…＝Cm－2n＋m－1＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m＝右边，∴原式成立.简单的组合问题[典例]在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．[解](1)C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．[活学活用]1．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？解：分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．