2006年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）0ln(1)lim1cosxxxx（2）微分方程(1)yxyx的通解是（3）设是锥面22(01)zxyz的下侧，则dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy（4）点(2,1,0)到平面3450xyz的距离d（5）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B（6）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY-------二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.（8）设(,)fxy为连续函数，则1400d(cos,sin)dfrrrr等于（Ａ）22120d(,)dxxxfxyy.（B）221200d(,)dxxfxyy.(C)22120d(,)dyyyfxyx.(D)221200d(,)dyyfxyx.（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11nnnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.（10）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（11）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.(B)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.(C)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.(D)若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（Ａ）1CPAP.（Ｂ）1CPAP.（Ｃ）TCPAP.（Ｄ）TCPAP.（13）设,AB为随机事件，且()0,(|)1PBPAB，则必有(A)()()PABPA(B)()()PABPB(C)()()PABPA(D)()()PABPB（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211PXPY则必有(A)12(B)12(C)12(D)12三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域22(,)1,0Dxyxyx，计算二重积分I=221dd.1Dxyxyxy（16）（本题满分12分）设数列nx满足110,sin(1,2,)nnxxxn（Ⅰ）证明limnnx存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211limnxnnnxx.（17）（本题满分12分）将函数2()2xfxxx展成x的幂级数.（18）（本题满分12分）设函数()fu在(0,)内具有二阶导数，且22zfxy满足等式22220zzxy.（I）验证()()0fufuu；（II）若(1)0,(1)1ff，求函数()fu的表达式.（19）（本题满分12分）设在上半平面(,)|0Dxyy内，函数(,)fxy具有连续偏导数，且对任意的0t都有2(,)(,)ftxtytfxy.证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有(,)d(,)d0Lyfxyxxfxyy.（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩2rA；（Ⅱ）求,ab的值及方程组的通解.（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解.(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ.（22）（本题满分9分）设随机变量X的概率密度为1,1021,0240,Xxfxx　其他，令2,,YXFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数.(Ⅰ)求Y的概率密度Yfy(Ⅱ)1,42F.（23）（本题满分9分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xfxx其他,其中是未知参数01，12n,...,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,...,nxxx中小于1的个数，求的最大似然估计.2006年硕士研究生入学考试数学一试题答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）0ln(1)lim1cosxxxx2.【分析】本题为00未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.（2）微分方程(1)yxyx的通解是e(0).xyCxx【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d11dyxyx，两边积分得1lnlnyxxC，整理得exyCx.（1eCC）（3）设是锥面22(01)zxyz的下侧，则dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy2.【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面1：2211zxy，取上侧，使1构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设1：221(1)zxy，取上侧，则dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy11dd2dd3(1)dddd2dd3(1)ddxyzyzxzxyxyzyzxzxy.而1dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy＝211006d6ddd2rVvrrz，1dd2dd3(1)dd0xyzyzxzxy.所以dd2dd3(1)dd2xyzyzxzxy.（4）点(2,1,0)到平面3450xyz的距离d2.【分析】本题直接利用点到平面距离公式000222AxByCzDdABC进行计算即可.其中000(,,)xyz为点的坐标，0AxByCzD为平面方程.【详解】2223241502345d.（5）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B2.【分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2BAEE于是有4BAE，而11211AE，所以2B.（6）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PXY19.【分析】利用XY与的独立性及分布计算.【详解】由题设知，XY与具有相同的概率密度1,3()30,xfx　　0　　　其他.则max,11,1PXYPXY11PXPY2120111d39PXx.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则1max,11,19SPXYPXYS阴.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则(A)0dyy.(B)0dyy.(C)d0yy.(D)d0yy.[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0fxfx知，函数()fx单调增加，曲线()yfx凹向，作函数()yfx的图形如右图所示，显然当0x时，00d()d()0yyfxxfxx，故应选(Ａ).（8）设(,)fxy为连续函数，则1400d(cos,sin)dfrrrr等于（Ａ）22120d(,)dxxxfxyy.（B）221200d(,)dxxfxyy.(C)22120d(,)dyyyfxyx.(D)221200d(,)dyyfxyx.[Ｃ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则原式22120d(,)dyyyfxyx.故选（Ｃ）.（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11nnnaa收敛.(D)112nnnaa收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由1nna收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取1(1)nnan，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取1(1)nnan，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy在000(,,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy，并记对应00,xy的参数的值为0，则000000(,,)0(,,)0xyFxyFxy，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxy.消去0，得00000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxy,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy.（因为(,)0yxy），若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.故选（Ｄ）.（11）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA