2019高考天津卷数学(理)试卷及答案(word版)

第1页共11页2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB.·如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB.·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.·棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}ABCxxR„，则()ACB（）A.2B.2,3C.1,2,3D.1,2,3,4则目标函数4zxy的最大值为（）2.设变量,xy满足约束条件A.2B.3C.5D.63.设xR，则“250xx”是“|1|1x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）第2页共11页A.5B.8C.24D.295.已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.56.已知5log2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.bcaD.cab7.已知函数()sin()(0,0,||π)fxAxA是奇函数，将yfx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为gx.若gx的最小正周期为2π，且π24g，则3π8f（）A.2B.2C.2D.2第3页共11页8.已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxfxxaxx„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为（）A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i是虚数单位，则5i1i的值为.10.83128xx是展开式中的常数项为.11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.12.设aR，直线20axy和圆22cos,12sinxy（为参数）相切，则a的值为.13.设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为.14.在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知2bca，3sin4sincBaC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin26B的值.16.（本小题满分13分）第4页共11页设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.17.（本小题满分13分）如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC∥∥，,1,2ADABABADAEBC.（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长.18.（本小题满分13分）第5页共11页设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率.19.（本小题满分14分）设na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba，.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足111,22,2,1,,kknkkcncbn其中*kN.（i）求数列221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiiacnN.20.（本小题满分14分）设函数()ecos,()xfxxgx为fx的导函数.（Ⅰ）求fx的单调区间；第6页共11页（Ⅱ）当ππ,42x时，证明π()()02fxgxx…；（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx在区间ππ2,2π42mm内的零点，其中nN，证明2π00eπ2π2sincosnnnxxx.【参考答案】一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A第7页共11页7.A8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.9.1310.2811.π412.3413.4314.1三.解答题15.（Ⅰ）解：在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3sin4sincBaC，得3sin4sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到43ba，23ca.由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBaa.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得215sin1cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故πππ15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB，16.（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~3,3XB，从而3321(),0,1,2,333kkkPXkCk.所以，随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望2()323EX.（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则2~3,3YB，且{3,1}{2,0}MXYXY.由题意知事件{3,1}XY与{2,0}XY互斥，且事件3X与1Y，事件2X与0Y均相互独立，从而由（Ⅰ）知()({3,1}{2,0})(3,1)(2,0)PMPXYXYPXYPXY第8页共11页824120(3)(1)(2)(0)279927243PXPYPXPY.17.（Ⅰ）证明：依题意，可以建立以A为原点，分别以ABADAE，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E.设(0)CFhh，则1,2,Fh.依题意，(1,0,0)AB是平面ADE的法向量，又(0,2,)BFh，可得0BFAB，又因为直线BF平面ADE，所以BF∥平面ADE.（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE.设(,,)nxyz为平面BDE的法向量，则0,0,nBDnBE即0,20,xyxz不妨令1z，可得(2,2,1)n.因此有4cos,9||||CEnCEnCEn.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.（Ⅲ）解：设(,,)mxyz为平面BDF的法向量，则0,0,mBDmBF即0,20,xyyhz不妨令1y，可得21,1,mh.由题意，有224||1cos,||||3432mnhmnmnh，解得87h.经检验，符合题意.所以，线段CF的长为87.第9页共11页18.（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，2,b1c.所以，椭圆的方程为22154xy.（Ⅱ）解：由题意，设0,,0PPpMPxyxMx，.设直线PB的斜率为0kk，又0,2B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立222,1,54ykxxy整理得2245200kxkx，可得22045Pkxk，代入2ykx得2281045Pkyk，进而直线OP的斜率24510Ppykxk.在2ykx中，令0y，得2Mxk.由题意得0,1N，所以直线MN的斜率为2k.由OPMN，得2451102kkk，化简得2245k，从而2305k.所以，直线PB的斜率为2305或2305.19.（Ⅰ）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.依题意得2662,6124,qdqd解得3,2,dq故14(1)331,6232nnnnannb.所以，na的通项公式为31,nnanb的通项公式为32nnb.（Ⅱ）（i）解：22211321321941nnxnnnnacab.所以，数列221nnac的通项公式为221941nnnac.（ii）解：22221111211nnniiniiiiiiiiiiacaacaac第10页共11页12212439412nnnnii2124143252914nnnn211*2725212nnnnN.20.（Ⅰ）解：由已知，有'()(cossin)xfxexx.因此，当π5π2π,2π44xkk()kZ时，有sincosxx，得'0fx，则fx单调递减；当3ππ2π,2π44xkk()kZ时，有sincosxx，得'0fx，则fx单调递增.所以，fx的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44kkkfxZ的单调递减区间为π5π2π,2π()44kkkZ.（Ⅱ）证明：记π()()()2hxfxgxx.依题意及（Ⅰ），有()e(cossin)xgxxx，从而'()2esinxgxx.当ππ,42x时，'0gx，故ππ'()'()'()()(1)'()022hxfxgxxgxgxx.因此，hx在区间ππ,42上单调递减，进而ππ()022hxhf….所以，当ππ,42x时，π()()02fxgxx….（Ⅲ）证明：依题意，10nnuxfx，即cos1nxnex.记2πnnyxn，则ππ,42ny，且2π2πecosecos2πennyxnnnnnfyxnnyN.第11页共11页由e20e1nnfyfy„及（Ⅰ），得0nyy….由（Ⅱ）知，当ππ,42