线性定常系统的反馈结构和状态观察器9[1].3(14-15-16)

9.3线性定常系统的反馈结构及状态观测器第14讲前面我们讲授的内容属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互转换等；系统的分析则主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解)和定性行为(如可控性、可观测性、稳定性等)。而系统综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。以下以状态空间描述和状态空间方法为基础，讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。引言输出反馈:用输出量作为反馈状态反馈:用系统内部的状态变量作为反馈基于经典控制理论的系统设计与综合，采用：输出反馈。基于现代控制理论（状态空间法）的系统设计与综合多数采用状态反馈，也有时采用输出反馈，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。之所以采用状态变量来构成反馈律，是因为状态空间分析中所采用的模型为状态空间模型，其状态变量可完全描述系统内部动态特性。由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的信息更丰富、更全面。状态反馈需要状态可物理测量，实际不可能完全物理上可测量的。这就需要基于状态观测理论，根据系统模型，利用直接测量到的输出信息来构造或重构状态变量信息，相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题。状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略一、线性定常系统的常用反馈结构及其对系统特性的影响1、两种反馈结构：状态反馈与输出反馈1）状态反馈设线性定常系统的状态空间模型0:ABCxxuyx状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵K，负反馈至输入端与参考输入v相加形成控制律:uvKx其中，参考输入；状态反馈系数阵。对单输入系统，K为n维行向量。1vpKpnBISACuyxx开环控制vK-:()ABKBCxxvyx状态反馈系统的动态方程xvuK控制律0:ABCxxuyx开环系统的动态方程闭环系统传递函数为：1()()kGsCsIABKB比较开环系统与闭环系统可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。0(,,)ABC(,,)ABKBCBISACuyxxvK-2）输出反馈（1）输出反馈到状态微分的反馈系统uxxuxyuxxBHCAHCBAHBA)(输出反馈两种输出反馈：（1）输出反馈到状态微分的反馈系统（2）输出反馈到参考输入的反馈系统传递函数：BHCAsICsGH-1)()(BISACHu_yxx（2）输出反馈到参考输入的反馈系统yvuFqpF:vxxBBFCA)(xyC传递函数：BBFCAsICsGF-1)()(BISACFvu_yxxvxxBBFCA)(输出反馈：vxxBBKA)(状态反馈：当FC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，即K＝FC。对于状态反馈，从K＝FC中，给定K值，不一定能够解出F。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。(后面以一个例子解释）2、反馈结构对系统性能的影响状态反馈、输出反馈都会改变系统的状态矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。1）对系统可控性和可观测性的影响定理1：状态反馈的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。vxxBBKA)(uxxBHCA)(vxxBBFCA)(证明：状态反馈的引入不改变系统可控性原系统可控性矩阵状态反馈后系统可控性矩阵])(...)([BBKABBKABQnc12)()(,11221ccccQrankQrankQQn时，当211ncQBABABABvxxBBKA)(vxxBA)()(0)(21221ccccQrankQrankIKBIABBBBKABQABBQn时，当)()(,)()()()(][312122ccccccQrankQranknnQrankQrankIKBIKBKBKABBKIBAABBBKBKBBKABABBKBABKBABBBBKABBKABQBAABBQn00022221时，当12003111xxuyx状态反馈可能改变系统的可观测性，举例说明原系统可观，设状态反馈阵K=[04]nCAC25111rankrank120(-)011ABKBxxvxunBKACC11111rank)(rank状态反馈系统不可观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系统零点相对消。)3)(1(1)(0ssssG原系统))(()(111ssssGk反馈后证明过程图解H(A-HC,B,C)的状态可观对偶原理由定理1，引入状态反馈HT(AT,CT,BT)的状态可控对偶原理(A,B,C)的状态可观的状态可控),,(TTTTTHBCHCAT定理2：输出反馈到状态微分的反馈系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。12003111xxuyx输出反馈到状态微分的反馈系统可能改变系统的可控性，举例说明nABB23120rankrank原系统可控，设输出反馈阵H=[21]T1220(-)110311100121AHCBuxxxuxunBHCAB12100rank)(rank输出反馈系统不可控，原因是当用输出反馈配置的极点与原系统零点相对消。定理3：输出反馈到参考输入的反馈系统，不改变系统可控性和可观测性。原系统可观性矩阵输出反馈后系统可观性矩阵11noCACACQ12)()(noBFCACBFCACCQ)()(,11221ooooQrankQrankQQn时，当vxxBBFCA)(xyC)()(0)(21o221oooQrankQrankCACICBFIBFCACCQCACQn时，当)()(,)()(000)()(31o21o222o221oooQrankQranknnQrankQrankCACACICBFABFBFCABFICBFIBFCACBFCACCQCACACQn时，当2）对系统稳定性的影响状态反馈系统的状态方程状态反馈和输出反馈都会改变系统的状态矩阵，所以会影响系统的稳定性。vxxBBKA)(uxxBHCA)(vxxBBFCA)(输出至状态微分处反馈系统的状态方程输出至参考输入端反馈系统的状态方程是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。若通过反馈使得闭环系统成为稳定系统，则称为镇定。对于线性定常被控系统：如果可以找到状态反馈控制律通过反馈构成的闭环系统定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。uxxBAxvuKvxxBBKA)()det()det(0det)det()det(12121cccccccAsIKBAsIAsIKBAKBAsIKBAsIBKAsIuxxxxBAcccc0,0121cccBPBBAAAPAPA证明：由于系统{A,B}不完全可控，则有可控性结构分解引入状态反馈],[21KKK定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。例：下述系统能否通过状态反馈实现镇定？100(1)011101(2)010xxxuxu二、极点配置闭环系统的性能与闭环极点（特征值）位置密切相关。状态反馈和输出反馈都改变闭环极点位置。所谓极点配置是利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极点位于所期望的极点位置。在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标，本质上均属于极点配置方法。现代控制理论：利用状态反馈、输出反馈来配置极点，需要解决两个问题：（1）极点可配置的条件；（2）确定极点配置时的反馈矩阵。状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。第15讲定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控证明：（a）充分性设受控系统{A,b}是状态可控的，经非奇异变换xx1P将矩阵A、b可化为可控标准型，有ubAPbuPAPxxx1１、利用状态反馈的极点可配置条件（P505）1210...1...000...0...1000...010naaaaA1000bbP变换后的状态反馈矩阵],,,,[12101nkkkkPkkxkxkkxvPvvu1vvbxkbxkbxx)-A()(A)(...)()()(1...000...0...1000...01011221100nnkakakakaAkb通过选择1210,,,,nkkkk可以满足方程中n个任意待定的参数0)()()()(0011111kaskaskasAsInnnnkb（b）必要性：若系统不可控，必有一部分状态与u无关，则引入状态反馈时就不可能通过控制u改变不可控的极点。],,,,[1210nkkkkPkk经过变换后的],,,,[1210nkkkkk],,,,[12101nkkkkPkk2、单输入－单输出系统的状态反馈极点配置算法1（１）判断系统是否完全可控，极点能否任意配置。n,,,21（２）计算由所决定的希望特征多项式*0*11*121*)())(()(asasasssssannnn给定可控系统{A,b}和期望的闭环特征值，要确定状态反馈增益向量，使闭环系统的动态矩阵的特征值为n,,,21],,,[110nkkkk)-(BKAn,,,2100111asasasAsInnn（4）计算],,,[1*11*10*0nnaaaaaak（5）求变换矩阵P（6）计算反馈增益向量Pkk（3）求的特征方程A例:已知系统状态方程u00112-10061000xx求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为j1,23,21解：系统的可控性判别矩阵意配置条件系统可控，满足极点任nQrankbAAbbQcc3,100610001],,[200101121187214418112101001PP144181,1210,100213121AppAppp1006100011cQuxPbuxPAPx100187201000101464))()(()(*23321sssssssa希望特征