运动图象追及和相遇问题

追及和相遇问题“追及和相遇”问题两个物体同时在同一条直线上（或互相平行的直线上）做直线运动，可能相遇或碰撞，这一类问题称为“追及和相遇”问题。“追及和相遇”问题的特点：（1）有两个相关联的物体同时在运动。（2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一位置。“追及和相遇”问题解题的关键是：准确分析两个物体的运动过程，找出两个物体运动的三个关系：（1）时间关系（大多数情况下，两个物体的运动时间相同，有时运动时间也有先后）。（2）位移关系。（3）速度关系。在“追及和相遇”问题中，要抓住临界状态：速度相同时，两物体间距离最小或最大。如果开始前面物体速度大，后面物体速度小，则两个物体间距离越来越大，当速度相同时，距离最大；如果开始前面物体速度小，后面物体速度大，则两个物体间距离越来越小，当速度相同时，距离最小。例1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？x汽x自△x方法一：公式法当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则自汽vatvssavt236自x汽x自△xmmmattvxxxm62321262122自汽自[探究]：汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？221aTTv自savt42自smaTv/12汽maTs24212＝汽方法二：图象法解;画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。v/ms-1自行车汽车t/so6t03tan60tmmxm66221V-t图像的斜率表示物体的加速度当t=2s时两车的距离最大st20动态分析随着时间的推移,矩形面积(自行车的位移)与三角形面积(汽车的位移)的差的变化规律α方法三：二次函数极值法设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则x汽x自△x2223621ttattvx自时当st2)23(26mxm6)23(462[探究]：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？02362ttxsT4smaTv/12汽maTs24212＝汽方法四：相对运动法选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v0=-6m/s，a=3m/s2，vt=0对汽车由公式asvvt2202mmavvst632)6(022202[探究]：xm=-6m中负号表示什么意思？atvvt0ssavvtt23)6(00对汽车由公式以自行车为参照物,公式中的各个量都应是相对于自行车的物理量.注意物理量的正负号.表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.例2.A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？方法一：公式法两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。由A、B速度关系：由A、B位移关系：21vatv022121xtvattv22202215.01002)1020(2)(msmsxvva2/5.0sma则(包含时间关系)方法二：图象法解:在同一个V-t图中画出A车和B车的速度图线，如图所示.火车A的位移等于其图线与时间轴围成的梯形的面积，而火车B的位移则等于其图线与时间轴围成的矩形的面积。两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，不难看出，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100.方法二：图象法v/ms-1BAt/so10t020100)1020(210tst2005.0201020tana2/5.0sma则当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100.物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移.方法三：二次函数极值法022121xtvattv代入数据得010010212tat若两车不相撞，其位移关系应为2/5.0sma则0214)10(1002142aa其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有方法四：相对运动法以B车为参照物，A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。02022axvvt2220202/5.0/10021002smsmxvvat2/5.0sma则以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号.练习1.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的v-t图象中(如图1),直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20s的运动情况.关于两车之间的位移关系,下列说法正确的是（)A.在0～10s内两车逐渐靠近B.在10～20s内两车逐渐远离C.在5～15s内两车的位移相等D.在t=10s时两车在公路上相遇思路(1)两车各做什么运动？图线交点的意义是什么?(2)图线与横轴所围的“面积”在数值上等于汽车在该时间内的位移.解析甲车做速度为5m/s的匀速直线运动,乙车做初速度为10m/s的匀减速直线运动.在t=10s时,两车的速度相同,在此之前,甲车的速度小于乙车的速度,两车的距离越来越大;在此之后,甲车的速度大于乙车的速度,两车的距离又逐渐减小,在t=20s时两车相遇,故选项A、B、D均错.5～15s内,两图线与时间轴所围成的面积相等,故两车的位移相等,选项C正确.答案C练习2.汽车以25m/s的速度匀速直线行驶,在它后面有一辆摩托车,当两车相距1000m时,摩托车从静止起动做匀加速运动追赶汽车,摩托车的最大速度可达30m/s,若使摩托车在4时刚好追上汽车,摩托车追上汽车后,关闭油门,速度达到12m/s时,冲上光滑斜面,上滑最大高度为H,求:(1)摩托车做匀加速运动的加速度a；(2)摩托车追上汽车前两车相距最大距离x；解析(1)设汽车位移为x1,摩托车位移为x2摩托车的加速度为a,摩托车达到最大速度所用时间为t,则30=atx1=25×240m=6000mx2=追上条件为x2=x1+1000ma==2.25m/s2)30240(302302aa49(2)摩托车与汽车速度相等时相距最远设此时刻为T,最大距离为xM即25=aTT=sxM=1000+25T-m=1138m答案(1)2.25m/s2(2)1138m910092501022aT22vM