数字信号处理第5章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法5.1引言5.2用信号流图表示网络结构5.3无限长脉冲响应基本网络结构5.4有限长脉冲响应基本网络结构5.5状态变量分析法第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法5.1引言一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程0101()()()()()()1MNiiiiMiiiNiiiynbxniaynibzYzHzXzaz其系统函数H(z)为第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：1122113111()10.80.151.52.5()10.310.511()10.310.5HzzzHzzzHzzz第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法5.2用信号流图表示网络结构观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.2.1三种基本运算的流图表示z－1x(n)x(n－1)x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n)＋x2(n)x(n)x(n－1)z－1x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n)＋x2(n)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中，122221221211202()(1)()(1)()()()()()()()nnnnnxnananynbnbnbn(5.2.1)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.2.2信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(PrimitiveSignalFlowGraghs)。(1)信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1；(2)流图环路中必须存在延时支路；(3)节点和支路的数目是有限的。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例5.2.1求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。解将5.2.1式进行z变换，得到11212221221211202()()()()()()()()()()()()WzWzzWzWzzWzXzaWzaWzYzbWzbWzbWz经过联立求解得到：120121212()()()1YzbbzbzHzXzazaz第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：0()()Miiynbxni其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为,0()0,nbnMhn其它n第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法5.3无限长脉冲响应基本网络结构1.直接型对N阶差分方程重写如下：01()()()MNiiiiynbxniayni第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.3.1IIR网络直接型结构b0b1b2z－1z－1z－1z－1a1a2x(n)x(n－1)x(n－2)y(n)y(n－1)y(n－2)x(n)y(n)b0b1b2z－1z－1z－1z－1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z－1z－1（a）（b）（c）第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例5.3.1IIR数字滤波器的系统函数H(z)为12312384112()5311448zzzHzzzz画出该滤波器的直接型结构。解由H(z)写出差分方程如下：531()(1)(2)(3)8()4(1)44811(2)2(3)ynynynynxnxnxnxn第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.3.2例5.3.1图x(n)y(n)z－1z－1z－1－4811－2454381第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法2.级联型在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，公子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到1111(1)()(1)MrrNrrCzHzAdz(5.3.1)形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：120121212()1jjjjjjzzHzazaz(5.3.2)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(5.3.3)式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.3.3一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构x(n)y(n)z－1x(n)y(n)z－1z－1(a)(b)j0j1j2j0j1j2j1j1j0第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例5.3.2设系统函数H(z)如下式：12312384112()11.250.750.125zzzHzzzz试画出其级联型网络结构。解将H(z)分子分母进行因式分解，得到112112(20.379)(41.245.264)()(10.25)(10.5)zzzHzzzz第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法3.并联型如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。图5.3.4例5.3.2图x(n)z－12y(n)z－14z－1－0.3790.25－1.245.264－0.5第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为12()()()()kHzHzHzHz(5.3.4)1011212()1iiiiizHzazaz式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法例5.3.3画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。解将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：111281620()1610.510.5zHzzzz将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.3.5例5.3.3图x(n)y(n)z－1z－11680.520－16－0.520z－1第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法5.4有限长脉冲响应基本网络结构FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为1010()()()()()NnnNmHzhnzynhmxnm第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法1.直接型按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。图5.4.1FIR直接型网络结构x(n)y(n)z－1z－1z－1h(0)h(1)h(2)h(N－2)h(N－1)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法2.级联型将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。例5.4.1设FIR网络系统函数H(z)如下式：H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3画出H(z)的直接型结构和级联型结构。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法解将H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。图5.4.2例5.4.1图z－1z－1z－1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z－1z－1z－10.9622.81.5(a)(b)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法3.频率采样结构频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式：设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZT［h(n)］，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：1101()()(1)1NNkkNHkHzzNWz(5.4.1)2()(),0,1,2,1jkNzeHkHzkN第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法要求频率域采样点数N≥M。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。将(5.4.1)式写成下式：1011()()()()1()()1NckkNckkNHzHzHzNHzzHkHzWz(5.4.2)式中Hc(z)是一个梳状滤波网络(参考第八章)，其零点为2,0,1,2,1jkkNkNzeWkN第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法图5.4.3FIR滤波器频率采样结构x(n)y(n)z－1z－1－z－NH(0)H(1)H(N－1)0NW1NW1NNWz－1N1第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法(1)在频率采样点ωk，H(ejωk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k))，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。(2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法然而，上述频率采样结构亦有两个缺点：(1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。(2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r≈1。此时H(z)为1101()()(1)1NNNrkkNHkHzrzNrWz(5.4.3)第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法5.5状态变量分析法1.状态方程和输出方程状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。第5章