圆锥曲线(题型完美版)

第1页共42页高中数学选修2-1资料第一章圆锥曲线第一节椭圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1P47例6、P50)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．2．椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程y2a2＋x2b2＝1(ab0)(3)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(8)焦距2c＝2a2－b2(9)离心率※(10)准线x＝±a2cy＝±a2c3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．第2页共42页如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(4)通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离。大小为ab22。题型一椭圆的定义【例1】(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同．()【例2】已知方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的取值范围为()A．(－3,5)B．(－3,1)C．(1,5)D．(－3,1)∪(1,5)【变式1】“－3m5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式2】方程2212516xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_______.【变式3】（2017•南开区模拟）已知椭圆121022mymx长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．8【变式4】（2013秋•西山区校级期末）已知椭圆方程为x2+4y2=16，求出其顶点、焦点坐标及离心率．第3页共42页题型二椭圆的标准方程第一类定义法求轨迹方程【例1】已知圆22:(2)36Axy，圆A内一定点B（2，0），圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.【例2】设动圆P与圆22:(3)4Mxy外切，与22:(3)100Nxy内切，求动圆圆心P的轨迹方程.【变式1】已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．【变式2】(2013·全国课标Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为____________．AOBPxy第4页共42页第二类椭圆的标准方程【例1】已知椭圆经过点P（2，0）和点33(1,)2Q，求椭圆的标准方程.【例2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194xy有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程.【变式1】两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点35(,)22【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程.【例3】（2016•河东区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为21，且经过点M(1，23)，过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．求椭圆C的方程；第5页共42页【变式3】（2016秋•灌南县校级期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=31；（2）焦点在y轴上，c=3，e=53．【例3】（2016春•伊宁市校级期中）已知椭圆的两焦点为F1（0，-1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线．求椭圆方程．【例4】（2016秋•延安期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．【变式4】（2015秋•霍邱县校级期末）已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（2-1），求椭圆方程．【例5】（2015秋•永年县期末）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，现有椭圆上一点M到两焦点的距离之和为20，且|MF1|、|F1F2|、|MF2|成等差数列，试求该椭圆的标准方程．第6页共42页【变式5】（2016•天津）设椭圆)3(13222ayax的右焦点为F，右顶点为A，已知FAeOAOF311，其中O为原点，e为椭圆的离心率．求椭圆的方程；题型三椭圆的焦点三角形性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab22性质二：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF.性质三：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e【例1】若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积.【例2】已知1F、2F是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，椭圆上一点P使9021PFF，求椭圆离心率e的取值范围。【变式1】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围第7页共42页【变式2】椭圆1244922xy上一点P与椭圆两个焦点1F、2F的连线互相垂直，则△21PFF的面积为（）A.20B.22C.28D.24【变式3】椭圆1422yx的左右焦点为1F、2F，P是椭圆上一点，当△21PFF的面积为1时，21PFPF的值为（）A.0B.1C.3D.61.（2017•崇明县一模）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（-25，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A．152522yxB．1103022yxC．1163622yxD．1254522yx2.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________．3.已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆22194xy有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。4.已知P为椭圆221169xy上的一点，12,FF是两个焦点，12021PFF，求12FPF的面积.第8页共42页我们根据椭圆12222byax)0(ba来研究椭圆的简单几何性质1.椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.2.椭圆的对称性对于椭圆标准方程22221xyab，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆22221xyab是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心.3.椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.②椭圆22221xyab（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）.③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b.a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作22cceaa.②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1.e越接近1，则c就越接近a，从而22bac越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2.要点诠释：第9页共42页椭圆12222byax的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PFPFa，1212||||||||PFPFePMPM，2122||||aPMPMc；（2）12BFBFa，12OFOFc，2221ABABab；（3）1122AFAFac,1221AFAFac，caPFca1；5．椭圆的第二定义、准线当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(eace时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．对于椭圆12222byax，相应于焦点)0,(cF的准线方程是cax2．根据对称性，相应于焦点)0,(cF的准线方程是cax2．对于椭圆12222bxay的准线方程是cay2．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义edMF||可得：右焦半径公式为exacaxeedMF||||2右；左焦半径公式为exacaxeedMF|)(|||2左．题型一椭圆简单的几何性质【例1】求椭圆221259xy的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.第10页共42页【变式1】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.【例2】已知椭圆22550mxymm的离心率为105e，求m的值．【例3】求椭圆1162522yx的右焦点和右准线；左焦点和左准线．【变式2】求椭圆81922yx方程的准线方程．题型二椭圆的离心率【例1】（2017•河东区模拟）椭圆13422yx的离心率为_______.【变式1】（2017•河北区模拟）椭圆1162522yx的离心率等于_______.【例2】（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为32∶的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率.第11页共42页【例3】从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为.【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）1331....5432ABCD【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e.【例4】椭圆22221xyab上一点到两焦点的距离分别为12dd、，焦距为2c，若122dcd、、成等差数列，则椭圆的离心率为________.【例5】已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为.【变式3】已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是.【例6】已知椭圆12222byax（a0,b0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为。【例7】在RtABC中，90A，1ACAB，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为