圆锥曲线几何性质精华

1圆锥曲线的几何性质四川省仪陇新政校区魏登昆一、椭圆的几何性质（以22ax+22by=1（a﹥b﹥0）为例）1、⊿ABF2的周长为4a(定值)证明：由椭圆的定义12121212242AFAFaAFAFBFBFaBFBFa即24ABFCa2、焦点⊿PF1F2中：（1）S⊿PF1F2=2tan2b（2）（S⊿PF1F2）max=bc（3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大证明：（1）在12AFF中∵22212124cos2PFPFcPFPF∴221212122cos24PFPFPFPFPFPFc∴21221cosbPFPF∴1222112sincostan21cos2PFFbSb（2）（S⊿PF1F2）max=max122chbc（32222222212002222222120004444cos12222PFPFcaexaexcacPFPFaexaex当0x=0时cos有最小值2222aca即∠F1PF2最大xyoF1F22PxyoF11F2AB23、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长1FM交2FP于F，连接OM由已知有1PFFPM为1FF中点∴212OMFF=1212PFPF=a所以M的轨迹方程为222xya4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切证明：取1PF的中点M，连接OM。令圆M的直径1PF，半径为r∵OM=2111112222PFaPFaPFar∴圆M与圆O内切∴以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，则∣IR∣：∣IP∣=e证明：证明：连接12,FIFI由三角形内角角平分线性质有∵1212121222FRFRFRFRIRcePIPFPFPFPFa∴IRPIe6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令1122,,,AxyBxy到准线的距离为12,dd以为直径的圆的圆心为M到准线的距离为d。∵21221222AFedAFBFeddBFed1212122ABReddReddxyoF1F2PMxyoF1F2PIIIRxyoF1F2PyxoF1F2AB3∵1212ddd∵01e∴Rd∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：（∣PA∣+∣PF2∣）max=2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min=2a-∣AF1∣证明：连接11,,APAFPF∵21122APPFAPaPFaAPPF∵111AFAPPFAF∴12122aAFAPPFaAF∴（∣PA∣+∣PF2∣）max=2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min=2a-∣AF1∣8、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则（∣PA∣+ePF2）min=A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PFPFedde∴（∣PA∣+ePF2）min=minPAd=A到右准线的距离.9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上。证明：令☉I与⊿PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A∵PMPN22FNFA∴111221PFPNFMFFFNFA∵11FMFAxyoF1F2PPA·xyoFA·xyoF1F2PNIIA2IM4∴1122PFPNFFFN∵22FNFA∴121222PFPNFNFFFNFA∵22FNFA∴2222acFA∴2acFA即为椭圆顶点。∴焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q证明：令P,Q到准线的距离为12,dd2122212122222212PFedPFQFPFdQFddQFdPFPKedQFQKdPKdQK由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q11、)(2112定值baBFAF证明：令1122,,,AxyBxy当AB的斜率存在时，设直线AB方程为ykxc∵22222222222222(2)0ykxcbxakxkcxckabxyabxyoF1F2EKQPxyoFBA522222222222()20bakxakcxakcab∴22122222akcxxbak2222212222akcabxxbak∴12121111AFaexBFaexAFBFaexaex122212122aexxaaexxexx=2222222222222222222222222222222222222222222222()akccakcaeabakabakakcakcabakccakcabaaeeaaebakbakbakabak32222422222242222222akabakcakabakcckbc2222224222222222222akacabakakbabbckbac22222121akabbk当AB的斜率存在时，222112aaaAFBFbbb∴)(2112定值baBFAF12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则22abKKOPAB（定值）证明：令1122,,,AxyBxy，00,Pxy则1202xxx1202yyy∵22112212121212222222221..01xyxxxxyyyyababxyab2121221212yybxxxxayyxyoFBAP6∵1212AByykxx，00OPykx∴221ABOPbkka∴22ABOPbkka13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣=a2证明：1210020,,0,,0,,,0BbBbNxPxyMx∴2002210011,,,,,,BPxybBMxbBPxybBNxb∵由于2B、P、M共线∴000220xybbxxxbyb∵由于100200,,,PFcxyPFcxy、P、N共线∴000110xybbxxxbyb∴222200222200xbxbOMONABybyb∵222222220000022222201xyxbybxaababby∴2OMONa14、椭圆的长轴端点为A1、A2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，则M、N与对应准线的焦点张角为900证明：令221200,,,,,aaMyNyPxycc，1,0Aa2,0AaxyoNMB2PB1xyoFNA2PA1M7∴100200221122,,,,,,,APxayAPxayaaAMayANaycc∵由于1A、P、M共线∴20001210()ayaxaycyayxaac∵由于2,,APN共线∴20002220()ayaxaycyayxaac∴22242200012222000()()aayayayaacccyyxaxaxac∵22220002222201xyybabxaa∴24221222baacyyac42bc∵21412222,,aFMcycbFMFNyycaFNcyc∴0FMFN∴M、N与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点。证明：设20,aMyc则AB的方程为20221axyycabyxoM1F2AB8即021yyxcb必过点,0c16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设00,Pxy，则过P点的切线l：00221xxyyab，直线l的法线x交轴于Q直线l的法向量为：0022,xynab∵100200,,,PFcxyPFcxy∴222220002PFcxycx2222200022bxcxcxba42220022acxacxa2022acxa同理21PF2022acxa∵22000122cxxynPFab222200022cxxbxbaa202acxa同理2022acxnPFa∴202222022cosacxnPFaFPQacxPFnna1n202222022cosacxnPFaFPQacxPFnna1n∴12FPQFPQ即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。yxoF1F2Plm9二、双曲线的几何性质（均以为例：）（1）焦点三角形面积：2cot2bS(2)、过作∠F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是222ayx(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与222ayx内切，小的圆与222ayx外切。(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交（1）•F1•F2P•F1•F2PMxy（2）0,12222babyaxF1F2Pyx(3)10(5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccose1F1F2Ayx(4)BF1F2Pyx(5)IF1F2Byx(6)CAMN11(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=PA+2PFmin＝1AF－2a(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，PA＋e12PFmin等于A到右准线的距离（9）、焦点到渐近线的距离等于b(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值222cbaF1F2Pyx(7)AF1F2Pyx(8)ABF1F2Pyx(9)F1F2Pyx(10)AB12（11）、P是弦AB中点KAB．Kop＝22ab定值（12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值21ab(13)、过P的切线平分∠F1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下F1F2Pyx(11)ABOF1F2Pyx(12)MON13长线过另一焦点（14）双曲线与渐近线把平面分成5部分双曲线上的点12222byax渐近线上的点02222byax区域①的点12222byax区域②的点12222byax区域③的点102222byax过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别在两支上，过区域③的点作切线切点在同一支上，过区域②的点没切线，双曲线的切线斜率abk，区域①、②的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心），双曲线上，区域③的点不可能是弦中点F1F2②yx(14)①③①②③y•F1•F2PMx（13）1214（15）直线L与双曲线的渐近线12222byax交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，则AC=