圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：cos1eep.其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若1+cosepe则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2）若1-sinepe当0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sinepe当0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解法一：310253331cos1cos5531053eP，2332555851015103383cacaabaccc2225155()()882b31554e方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，1、椭圆中，cbccap22，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepMN.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若M、N在双曲线同一支上，2222cos2)cos(1cos1caabeepeepMN；若M、N在双曲线不同支上，2222cos2cos1cos1acabeepeepMN.3、抛物线中，2sin2)cos(1cos1pppMN例1过双曲线22xy-145的右焦点，引倾斜角为3的直线，交双曲线与A、B两点，求AB｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得所以又由得注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是-或523cos12(,),(,)33AB12||AB5580||723cos23cos()33121212-为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6的直线，交双曲线于A,B两点，求AB求AB｜｜解：附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，则exaPF1，exaPF2；2、若1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，aexPF1，aexPF2；当点P在双曲线左支上时，exaPF1，exaPF2；3、若F是抛物线的焦点，2pxPF.利用弦长求面积高考题（08年海南卷）过椭圆22154xy的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积．简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cosepABe求弦长，然后利用公式B1|B|||sin2AOSAOFAFO直接得出答案。12112cos12(,),(,)66AB12||AB11||12cos12cos()66（）22||26264变式(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆2212xy的左焦点.过点F的直线1l与椭圆交于P、Q两点，过F且与1l垂直的直线2l交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos2设直线1l的倾斜角，则直线2l的倾斜角为090，由极坐标系中焦点弦长公式知：22||11cos2PQ，20222||111cos(90)1sin22MN用他们来表示四边形的面积1||||2SPQMN22111sincos242111sin2216即求2111sin2216的最大值与最小值由三角知识易知：当sin21时，面积取得最小值169；当sin20时，面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题例一．过椭圆)0(12222babyax的左焦点F，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A、B两点，若FBFA2，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为cos1epe则00240cos1,60cos1epeFBepeFA，∴21221epeepe，解得32e；变式求过椭圆23cos的左焦点，且倾斜角为4的弦长AB和左焦点到左准线的距离。解：先将方程化为标准形式：2311cos3则离心率13e，23ep，2p所以左焦点到左准线的距为2。设125(,),(,)44AB，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos3cos44AB（3）定值问题例1.抛物线22(0)ypxp的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：11ab定值。解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cosp，设(,),(,)AaBb将A,B两点代入极坐标方程，得,1cos1cos()ppab则11ab=1cos1cos()pp=2p（定值）点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有epNFMF211例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证11ABCD为定值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为cos1eep，又设112343A,,B,+,C,+,D,+22则代入可得222||1cosepABe，222||1sinepABe则2112-e=ABCD2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。例三(2007重庆理改编)中心在原点O的椭圆2213627xy，点F是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P,P,P使0122331120PFPPFPPFP∠∠∠．证明：213111FPFPFP为定值，并求此定值．解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos，设点1P对应的极角为，则点2P与3P对应的极角分别为0120、0120，1P、2P与3P的极径就分别是1||FP92cos、2||FP092cos(120)与3||FP092cos(120)，因此213111FPFPFP002cos2cos(120)2cos(120)999，而在三角函数的学习中，我们知道00coscos(120)cos(120)0，因此21311123FPFPFP为定值极坐标分别表示1||FP、2||FP与3||FP，这样一个角度对应一个极径．就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广2设123PPPPn是椭圆上的n个点，且123NFP,FP,FPFP圆周角等分则n2i=1i1OP也为定值例题：（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆22221(0)xyabab的焦点1F作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，11||2||AFBF．（1）求椭圆的离心率e；（2）若15||4AB，求椭圆方程