高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第二章 函数、导数及其应用 第十二节 定积分与微积分基本定理

第十二节定积分与微积分基本定理基础盘查一定积分的概念、几何意义与性质(一)循纲忆知了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．(二)小题查验1．判断正误(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若abf(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方()(4)若f(x)是偶函数，则-aaf(x)dx＝20af(x)dx()2．(人教A版教材习题改编)011－x2dx＝___.√××√π4基础盘查二微积分基本定理(一)循纲忆知了解微积分基本定理的含义．(二)小题查验1．判断正误(1)微积分基本定理中F(x)是唯一的()(2)若f(x)是连续的奇函数，则-aaf(x)dx＝0()2．(人教A版教材习题改编)计算：(1)π20(3x＋sinx)dx＝________.(2)12ex－2xdx＝_____________.×√3π28＋1e2－e－2ln2考点一定积分的计算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)．2．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．[题组练透]计算下列定积分：(1)-13(3x2－2x＋1)dx；(2)12x－1xdx；(3)0π(sinx－cosx)dx；(4)02|1－x|dx.解：(1)-13(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24.(2)12x－1xdx＝12x2－lnx|21＝32－ln2.(3)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.(4)02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－12x2|10＋12x2－x|21＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.[类题通法]运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．考点二定积分几何意义的应用(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分abf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积．[提醒]曲边梯形的面积非负，而定积分的结果可以为负．[一题多变][典型母题]由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为_____．163[解析]由y＝x及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝x及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为∫40(x－x＋2)dx＝xxx32221-+23240＝163[题点发散1]由曲线y＝x，直线及轴所围成的图形的面积为_____．y＝x－2y＝－x＋2yx76解：如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为10xdx＋21(－x＋2)dx＝x322310＋2x－x2221＝76.[题点发散2]若本例中“y＝x－2”改为“y＝m”，且由曲线f(x)＝x与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为83，则m的值为____．解析：S＝m20(m－x)dx＝mxx322-3m20＝m3－23m3＝83，所以m＝2.2[题点发散3]若本例变为：求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．解：由y＝x，y＝2－x得交点A(1,1)．由y＝2－x，y＝－13x得交点B(3，－1)．故所求面积S＝∫10x＋13xdx＋∫312－x＋13xdx＝23x32＋16x210＋2x－13x231＝23＋16＋43＝136.[类题通法]利用定积分求平面图形面积的四个步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．[提醒]利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上、下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论．考点三定积分在物理中的应用(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为bav(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－bav(t)dt.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为baF(x)dx.[典题例析](2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2解析：由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t|40＝4＋25ln5.答案：C[类题通法]利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．[演练冲关]一物体在力F(x)＝5，0≤x≤2，3x＋4，x＞2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_____焦．解析：由题意知，力F(x)所做的功为W＝∫40F(x)dx＝∫205dx＋∫42(3x＋4)dx＝5×2＋32x2＋4x|42＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(焦)．36“课后演练提能”见“课时跟踪检测(十七)”(单击进入电子文档)“板块命题点专练（四）”(单击进入电子文档)谢谢观看