高考数学《向量》专题复习(专题训练)

1高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与AB共线的单位向量是ABAB.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共线向量，记作：a∥b.①向量)0(aa与b共线，则有且仅有唯一一个实数，使ab；②规定：零向量和任何向量平行；③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；④平行向量无传递性！（因为有0)；⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11yxa，),(22yxb，则),(2121yyxxba；（2）设),(11yxa，),(22yxb，则),(2121yyxxba；（3）设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则AB=),(1212yyxx；（4）设),(11yxa，),(22yxb，向量平行ba//1221yxyx；（5）设两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，则2121yyxxba，所以002121yyxxbaba；（6）若),(yxa，则22yxa；（7）定比分点：设点P是直线21,pp上异于21,pp的任意一点，若存在一个实数，使21PPPP，则叫做点P分有向线段21PP所成的比，P点叫做有向线段21PP的以定比为的定比分点；当P分有向线段21PP所成的比为，则点P分有向线段21PP所成的比为1.注意：①设111(,)Pxy、222(,)Pxy，(,)Pxy分有向线段21PP所成的比为，则121211xxxyyy，在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)xy，11(,)xy、22(,)xy的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些2点确定对应的定比.当1时，就得到线段12PP的中点公式121222xxxyyy.②的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段21PP上时0；当P点在线段21PP的延长线上时1；当P点在线段21PP的反向延长线上时10；3.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a、b，作aOA，bOB，AOB0称为向量a、b的夹角。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a、b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ba，即cosbaba.零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）b在a上的投影为cosb，投影是一个实数，不一定大于0.（4）ba的几何意义：数量积ba等于a与b在a上的投影的乘积。（5）向量数量积的应用：设两个非零向量a、b，其夹角为，则babacos，当0baba时，为直角；当0ba时，为锐角或ba,同向；注意：0ba是为锐角的_____________条件；当0ba时，为钝角或ba,反向；注意：0ba是为钝角的_____________条件；（6）向量三角不等式：bababa当ba,同向baba，baba；当ba,反向baba，baba；当ba,不共线bababa；34.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使2211eea成立，我们把不共线的向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的一组基底。（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线OCOBOA21λλ且121λλ.5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若MP→、MA→、MB→三个向量共面，则MByMAxMP.同时，对于空间任意一点O，存在OBOAnOMmMByMAxOMOP，其中nm＝_____________例1.下列命题：①若𝑎⃗⃗与𝑏⃗共线，则存在唯一的实数λ，使𝑏⃗=λ𝑎⃗⃗；②若向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗所在的直线为异面直线，则向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗一定不共面；③向量𝑎⃗⃗、𝑏⃗、𝑐⃗共面，则它们所在直线也共面；④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，若𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则点M一定在平面ABC上，且在ABC内部；⑤若ba//，且cb//，则ca//；⑥若0ba，则它们的夹角为锐角；其中正确的命题有__________________（填序号）例2.已知向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗夹角为𝜋3，|𝑏⃗|=2，对任意x∈R，有|𝑏⃗+x𝑎⃗⃗|≥|𝑎⃗⃗-𝑏⃗|，则|t𝑏⃗-𝑎⃗⃗|+|t𝑏⃗-𝑎⃗⃗2|（t∈R）的最小值是______________4例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是AB、AC上的点，且𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，且λ，μ∈（0，1），且λ+4μ=1，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为_____________例4.已知平面向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗满足|𝑎⃗⃗|=√2，|𝑏⃗|=1，𝑎⃗⃗•𝑏⃗=-1，且𝑎⃗⃗-𝑐⃗与𝑏⃗-𝑐⃗的夹角为𝜋4，则|𝑐⃗|的最大值为______________变式训练：1.已知向量𝑎⃗⃗=（-1，-2），𝑏⃗=（1，λ），若𝑎⃗⃗，𝑏⃗的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________2.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗在𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗上的投影是_________3.如图，在ABC中，已知∠BAC=𝜋3，|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=3，点D为边BC上一点，满足𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，点E是AD上一点，满足𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，则|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=______________4.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，𝐸𝐹=√2，CD=√3．若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=15，则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为_____________5.向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗的夹角为120°，|𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|=2，|𝑐⃗|=4，则|𝑎⃗⃗+𝑏⃗-𝑐⃗|的最大值为__________56.已知O是面α上一定点，A，B，C是平面α上ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________（填序号）①动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵|+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶|）（λ＞0），则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵|𝑠𝑖𝑛𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶|𝑠𝑖𝑛𝐶）（λ＞0），则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵|𝑐𝑜𝑠𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶|𝑐𝑜𝑠𝐶）（λ＞0），则ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；⑤动点P满足𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+λ（𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵|𝑐𝑜𝑠𝐵+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐶|𝑐𝑜𝑠𝐶）（λ＞0），则ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=6，若𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑚𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，则m=_____________8.（2017全国）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗•（𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗）的最小值是_______9.在OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB//MN，2OA=OM，若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，𝑦+𝑥+2𝑥+1的取值范围为____________10.如图，在直角坐标系中，△ABC是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，△ABC可绕圆心旋转，M、N分别是边AC、AB的中点，ONOM的取值范围是_____________611.如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为_________12.如图，矩形ORTM内放置5个边长均为√3的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗-𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗）•𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=______13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=OBOA，I2=OCOB，I3=ODOC，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I314.在坐标系xoy中，O点坐标为（0，0），点A（3，4），点B（-4，3），点P在∠AOB的角平分线上，且OP长度为25，则点P坐标为_____________15.（2017浙江）已知向量a，b满足1a，2b，则abab的最小值是，最大值是16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记im=)10,,3,2,1(2iAPABi，则m1+m2+…+m10的值为_____________717.已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则当取最小值时，向量与的夹角为_________________（用反三角表示）18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于_________________19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，则P点到直线AB的距离为__