空间解析几何

空间解析几何数量关系—第一部分向量代数第二部分空间曲面和曲线在几何空间中:空间对象—点,线,面基本工具：向量代数坐标,方程组,目录方程1向量及其线性运算2向量的内积外积与混合积4空间曲线及其方程5平面及其方程6空间直线方程目录3曲面及其方程1向量概念2向量的线性运算4利用坐标作向量运算5向量的模与方向角第一节向量及其线性运算3空间直角坐标系⑴向量：既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。⑵向量表示：以1M为起点，2M为终点的有向线段.1M2Ma21MM模长为1的向量.模长为0的向量.0||a21MM||⑶向量的模：向量的大小.或或1、概念⑷单位向量：⑸零向量:ae1、概念⑹自由向量：与起点无关的向量，可平行移动.⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.ab⑻负向量：大小相等但方向相反的向量.aaa⑼向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.2、两非零向量的关系⑴相等：大小相等且方向相同的向量.abab记为⑵平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量.//ab记为⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量.ab记为注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。ababb2、两非零向量的关系⑷共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.abc1、向量的加减法⑴加法：cbaabc（平行四边形法则）特殊地：若a‖babc||||||bac分为同向和反向bac||||||bac（平行四边形法则有时也称为三角形法则）向量的加法符合下列运算规律：①交换律：.abba②结合律：cbacba)().(cba③加负律：.0)(aa(2)减法)(babaabbbcbabac)(babaab2、向量与数的乘法⑴定义：设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)ia与a同向，||||aa,0)ii0a,0)iiia与a反向，||||||aaaa2a21数与向量的乘积符合下列运算规律：①结合律：)()(aaa)(②分配律：aaa)(baba)(向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。例1化简53215abbba解53215abbbaba551251)31(.252ba例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证AMMCBMMDADAMMDMCBMBCAD与平行且相等,BC结论得证.ABCDMab同方向的单位向量，表示与非零向量设aea按照向量与数的乘积的规定，aeaa||aeaa||向量单位化：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.(2)单位向量的表示0.ababa定理设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使(3)两个向量的平行关系（共线定理）证:充分性显然；下面证明必要性,//ab设,ab取取正值，同向时与当ab取负值，反向时与当ab.ba故有.ba则此时与同向aa又aab,b.的唯一性再证明，设ab，又设ab两式相减，得，0)(a，即0a，0a，故0.即证毕注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据.,OxiO确定了数轴及单位向量设点Oix,P对于轴上任一点P,OP对应一个向量,,//xiOP数所以，必存在唯一的实由于,.OPxiOPx使则与实数一一对应向量点PixOPx实数(的坐标）P.ixOPxP的坐标为1x1、坐标系的构成坐标原点：定点O坐标轴：以O为原点的三条相互垂直的数轴横轴(轴)、纵轴(轴)、竖轴(轴)三个坐标轴的正方向要符合右手系：以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向是轴的正向.x横轴y纵轴z竖轴oxyzz这三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，记为Oxyz.xyzπ2ⅦxyozxOy面yOz面zOx面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ2、点、向量与坐标设是以坐标原点为起点，M为终点的向量，在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个单位向量称为基本单位向量.MxyzoRPAQaOMOAAMOAOROPPAOROPOQOR,,ijkikxiyjzk(,,R)xyz称有序数组为向量或点M的坐标，简记为或.(,,)xyzMOM点向量(,,)xyz(,,)axyzaaa(,,)Mxyzj⑴加法),,(zyxaaaa),,(zyxbbbb),,(zzyyxxbabababa),,(zzyyxxbabababa),,(zyxaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx;)()()(kbajbaibazzyyxx.)()()(kajaiazyx1、向量的加减法与数乘;kajaiazyx;kbjbibzyx⑵减法⑶数乘2、平行向量的坐标表示式abba//(,,)(,,)xyzxyzbbbaaazzyyxxababab若某个分母为0，则相应的分子也为0解例3求解以向量为未知元的线性方程组byxayx24=(3,1,2),=(5,1,4).-ab其中解二元一次方程组，易得).(21,2bayabx,,ab以的坐标表示式代入得),6,3,7()2,1,3()4,1,5(2x).1,1,1()4,1,5(21)2,1,3(21y例4已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1，在直线AB上求点M，使.MBAM解),,(111zzyyxxAM),,(222zzyyxxMB设),,(zyxM为直线上的点，ABMxyzo注意：点的坐标是向径的坐标，向量的坐标是端点坐标之差。由题意知：MBAM),,(111zzyyxx),,,(222zzyyxx1xx)(2xx1yy)(2yy1zz)(2zz,121xxx,121yyy,121zzzM为有向线段AB的定比分点.M为中点时，,221xxx,221yyy.221zzz⑴向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:有如下图所示作设向量,,),,,(rOMzyxr),,(zyxMxyzoPQRNKHOROQOPOMr按勾股定理可得.||||||||||222OROQOPOMr|,||||,||||,|||zORyOQxOP有,,,kzORjyOQixOP由222.||rxyz于是得向量模的坐标表示式⑵两点间的距离公式:),,,(),,(222111zyxBzyxA和点设有点由的模即向量的距离和点则点.||ABABBA),,(),,(111222zyxzyxOAOBAB),,(121212zzyyxx两点间的距离即得BA,.)()()(||||212212212zzyyxxABAB例5求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解221MM,14)12()31()47(222232MM,6)23()12()75(222213MM,6)31()23()54(22232MM,13MM原结论成立.解OAOBAB)1,3,5()5,0,1().4,3,4(.414)3()4(||222AB).4,3,4(411||ABABe于是例7设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标.解设P点坐标为),0,0,(x因为P在x轴上，1PP22232x,112x2PP22211x,22x1PP,22PP112x222x,1x所求点为).0,0,1(),0,0,1(2、方向角与方向余弦⑴空间两向量的夹角的概念:,0a,0bab向量a与向量b的夹角),(ba),(ab类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.0()非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.⑵方向角显然有xyzo1M2MPQR,,.r记非零向量的三个方向角为,0,0.0⑶方向余弦由图分析可知cos||rxcos||rycos||rz方向余弦通常用来表示向量的方向.),,(zyxr令向量的方向余弦方向余弦的特征1coscoscos222re||rr).cos,cos,(cos特殊地：单位向量的方向余弦为例8已知A(3,3,1)和B(1,5,1),计算解(13,53,11)AB).0,2,2(222||(2)2022.AB;0cos,22cos,22cos于是.2,4,43从而例9设有向量21PP，已知221PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3和4，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P的坐标.解,3,4,1coscoscos222.21cos设2P的坐标为),,(zyx,1cosx21PP21x21,2x0cosy21PP20y22,2y3cosz21PP23z,2,4zz2P的坐标为).2,2,2(),4,2,2(213、向量在轴上的投影uMOMe,()Oeu一般地设点及单位向量确定轴如图,,(),,,,Prj().uurOMrMuuMMMuOMruOMerurr任给向量作再过点作与轴垂直的平面交轴于点点叫点在轴上的投影则向量称为在轴上的分向量设则数称为在轴上的投影记作或向量在轴上的投影是数(,,)xyzaOxyzaaaa在直角坐标系中的坐标为,则在三坐标轴上的投影分别为向量在三坐标轴上的投影=Prj,=Prj,=Prjxxyyzzaaaaaa,,xyzxyzaaaaaa或记作向量投影的性质())=||cos(,)uiaaau()()())+=+.uuuiiabab()())=.uuiiiaa例10设kjim853，kjin742，kjip45，求向量pnma34在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kji,15713kji在x轴上的投影为13xa,在y轴上的分向量为j7.一、向量概念1、概念2、两非零向量的关系二、向量的线性运算1、向量的加减法2、向量与数的乘法三、空间直角坐标系1、坐标系的构成2、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线性运算1、向量的加减法与数乘2、平行向量的坐标表示五、向量的模,方向角,投影1、模与距离公式2、方向角与方向余弦3、向量在轴上的投