第六章 金属电子论

第六章金属电子论固体中原子的排列组合方式固体中原子的结合方式固体中原子（晶格）的运动固体中电子的分布和运动固体中电子在外界作用下的运动金属中电子的宏观统计状态和行为金属(Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极好的导电体和导热体(Electricalandheatconductors)，有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的解释极大地推动了现代固体物理的发展。实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处在固体研究的中心。对金属的研究导致了能带论的提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半导体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发展出整个电子工业的理论基础.金属共同的物理性质•易导电•易导热•有延展性•有金属光泽脱离原子核束缚的价电子不再属于哪一个原子，而是为所有原子所共有，成为共有化电子。因此，失去价电子的离子实“沉浸”在由共有化电子形成的“电子云”中。离子实带正电荷，由于正电荷的均匀分布，施加在电子上的电场为零，对电子无作用，因此可认为价电子的运动是“自由”的，即自由电子气体模型就是把金属简单地看成是价电子组成的电子气体。特鲁德-洛伦兹自由电子气模型成功之处：•导电性--金属中的大量自由电子本身携带电荷，在外电场作用下，电子会发生定向移动，形成电流。因此，金属是电的良导体。•导热--电子是热的载体，当金属受热或存在温度梯度时，电子会发生定向漂移运动，从而将热能从高温处流向低温处，形成热传导。因此金属是热的良导体。•延展性--金属中忽略了电子与离子实之间的相互作用、忽略了电子与电子之间的相互作用，当金属收到外力作用时，金属阳离子和原子间易产生滑动而不易断裂。•金属光泽--金属可以吸收波长范围极广的光并重新反射出去，因此金属晶体不透明，呈现出特有的金属光泽。★金属中存在着电子，根据自由电子论，金属的电导率电子密度n，但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、Zn、Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）?经典理论的局限性★自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数会大于0（如Al、In等）；★不能解释为什么电子的平均自由程会比相邻原子间距大得多（如Cu：300K时，310－8m；而4.2K时，310－3m）；★自由电子论不能解释为什么固体材料会分成导体、半导体和绝缘体；★自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但是，实验结果表明，在通常情况下，金属费米面的形状都不是球面。能带理论不仅解决了经典理论的矛盾，并且为处理电子运动以及电子自由程问题提供了新的基础。在费米统计和能带理论的基础上，逐步发展了关于输运过程的现代理论。本章主要通过讨论电导的问题来介绍关于输运过程中的一些基本概念和理论方法。6-1费米统计和电子热容量一、费密分布函数二、的确定三、电子热容量本节思路：由费米统计分布函数出发，确定费米能级，并由此给出低温下晶体电子的热容量。二、EF的确定——能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看作是独立的，具有一系列确定的本征态——一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都在一个能带内一、费米分布函数1、费米分布函数定义电子气体服从泡利不相容原理和费米—狄拉克统计玻尔兹曼统计：是描述独立定域粒子体系分布状况的统计规律，即：粒子间相互没有任何作用，互不影响，并且各个不同的粒子之间都是可以互相区别的。在经典力学背景下，任何一个粒子的运动都有着可确定的运动轨迹可以相互区分，因此所有经典粒子体系都是定域粒子体系。泡利不相容原理：是微观粒子运动的基本规律之一，它指出在费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。费米-狄拉克统计：它表示在温度T时，能级E的一量子态上平均分布的电子数。因量子态上最多由一个电子所占据，所以费米-狄拉克统计的物理含义是能量为E的每个量子态上被电子所占据的几率。量子统计基础知识经典的Boltzmann统计：expBEfEkT量子统计：Fermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计费米子：自旋为半整数（n＋1/2）的粒子（如：电子、质子、中子等），费米子遵从Fermi－Dirac统计规律，费米子的填充满足Pauli原理。玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从Bose－Einstein统计规律，玻色子不遵从Pauli原理。费米统计分布函数——热平衡下时，能量为E的本征态被电子占据的几率2）T0K时21,EfEEF01EfeTkEETkEEBFBF几个11EfeTkEETkEEBFBF几个1）T=0K时0EfEEF1EfEEFT＝0K时T＝0K时，电子的分布函数为f(E)={1EEF00EEF0022FFmEk——费米半径FFFPkmV——费米动量2202FFkEm——费米能FFkvm——费米速度在E－E＋dE中的电子数为：dN＝f(E)N(E)dE系统的自由电子总数为0NfENEdET＝000FENEdE031220023FEFCEdECE322322VmC3221122322()VmEECNE自由电子EdsVdEdZENk3222323220223322FNEnmVmNnV——自由电子密度金属：n：1022~1023cm－3323202323FVmNEEF0~几个eV系统的总能量：00UEfENEdET＝000FEENEdE定义Fermi温度：0FFBETk金属：TF：104~105K物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度下的振动能。元素EF0(eV)TF(104K)元素EF0(eV)TF(104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金属元素费米能与费米温度的计算值T0K时能量在E－E＋dE之间的电子数为：dNfENEdE1exp1BfEEkT——Fermi－Dirac分布函数µ：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。当E＝µ时，f(µ)＝1/2，代表填充概率为1/2的能态。expexpexpBBBEEfEkTkTkTE，f(E)迅速趋于零。这表明，E－几个kBT的能态基本上是没有电子占据的空态。当E－几个kBT时，exp[(E－)/kBT]1，这时，Fermi－Dirac分布过渡到经典的Boltzmann分布。对金属，TTF总是满足的，将金属自由电子气称为强简并的费米气体。－E几个kBT时，exp[(E－)/kBT]1，f(E)1。这表明，－E几个kBT的能态基本上是满态。在强简并情况下，EF（EF是T0时的费米能）。量子力学中能量的简并性：金属自由电子气的简并性：统计的简并性，即指金属自由电子气与理想气体遵从的统计规律的差异性。对于半导体，n~1017cm-3，其TF~102K。当T~TF时，其分布已经很接近于经典分布了。对于金属而言，由于TTF总是成立的，因此，只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的状态，称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。二、展开式及其应用1、问题的提出0NfENEdE0UEfENEdE和由于金属的费米能EF0kBT，当T0时，只有在费米面附近的一小部分电子被激发而跃迁到高能态，而比费米能低几个kBT的电子仍保持原来的状态，因此，这种类型的积分可以作适当的近似处理。这类积分不能用精确的解析表达式积出，因而给定量计算金属的性质带来困难。2、Sommerfeld展开式设函数Q(E)在（-，+）上连续可微，Q(0)＝0，并且满足条件，其中α为大于0的常数。在kBTEF的情况下，有lim0EEeQE2206FBFIfEQEdEQEkTQE其中1exp1FBfEEEkT为F－D分布函数证明：0IfEQEdE0dfQEdEdE考察：dfdE2exp1exp1FBBFBEEkTkTEEkT11exp1exp1BFFBBkTEEEEkTkT当E－EF几个kBT时，exp[(E－)/kBT]1EF－E几个kBT时，exp[(E－)/kBT]1(-df/dE)的值集中在E－EFkBT的一小范围内，当E－EF几个kBT时，函数的值迅速趋于0，具有类似于函数的性质。因此，积分的贡献主要来自E~EF附近的区域，由于EFkBT，所以，我们可以将均分的下限由0改为∞，而并不会影响积分值。dfIQEdEdE(-df/dE)是（E－EF）的偶函数；dfdE数点：函的特将Q(E)在E=EF附近展开成Taylor级数：212!FFFFFQEQEQEEEQEEEFFFdfdfIQEdEQEEEdEdEdE212FFdfQEEEdEdE0FFdfIQEdEQEdE1FFdfIQEEEdEdE011FBxxxdxQEkTeeFBEExkT2212FFdfIQEEEdEdE221211FBxxxdxQEkTee奇函数222201xBFxxedxIkTQEe23112112!3!nnnnnnn利用Taylor展开式：2223201234xxxxBFIkTQExeeeedx22221112!1234BFkTQE226BFkTQE偶函数21122201!111123412maxmmmmxedxaa，（）2206FBFfEQEdEQEkTQE3、Sommerfeld展开式的应用1）EF的确定0NfENEdE2206FBFENEdEkTNE0120220162FFFBFEEENEdENEdEkTCE12NECEQENE02000212FFBFFFNENEEkNTNEE2222000111212BFFFFFkTTEEEET对于金属，由于TFT，所以EFEF0，略低于EF0。