2017中考数学专题分类讨论题

2017中考数学专题分类讨论题类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.例1．（·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。故顶角可能是50°或80°.答案：D.同步测试：1.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm2.（·江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．例2.（•湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是_____．【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1、圆与AB相切，此时r＝2.4；2、圆与线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3＜r≤4。【答案】3＜r≤4或r＝2.4同步测试：3.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．4.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．【解析】建立函数关系实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以AND，，为顶点的三角形与BME△相似”，一定要注意分类讨论。【答案】（1）取AB中点H，联结MH，M为DE的中点，MHBE∥，1()2MHBEAD．又ABBE，MHAB．12ABMSABMH△，得12(0)2yxx；（2）由已知得．以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，1122MHABDE，即．解得43x，即线段BE的长为43；（3）由已知，以AND，，为顶点的三角形与BME△相似，又易证得DAMEBM．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADNBEM；②ADBBME．①当ADNBEM时，ADBE∥，ADNDBE．DBEBEM．DBDE，易得2BEAD．得8BE；②当时，ADBE∥，ADBDBE．DBEBME．又BEDMEB，BEDMEB△∽△．DEBEBEEM，即2BEEMDE，得2222212(4)2(4)2xxx．解得12x，（舍去）．即线段BE的长为2．综上所述，所求线段BE的长为8或2．同步测试：5.（·福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．同步测试答案：1.【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下,要分两种情况进行讨论,当腰长是3cm，底边长是6cm时，由于3+3不能大于6所以组不成三角形；当腰长是6cm，地边长是3cm时能组成三角形．【答案】D2.【解析】由折叠图形的轴对称性可知，BFBF，BFEBFE，从而可求得B′E=BF；第(2)小题要注意分类讨论.【答案】（1）证：由题意得BFBF，BFEBFE，在矩形ABCD中，ADBC∥，BEFBFE，BFEBEF，BFBE．BEBF．（2）答：abc，，三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）abc，，三者存在的关系是222abc．证：连结BE，则BEBE．由（1）知BEBFc，BEc．在ABE△中，90A，222AEABBE．AEa，ABb，222abc．（ⅱ）abc，，三者存在的关系是abc．证：连结BE，则BEBE．由（1）知BEBFc，BEc．在ABE△中，AEABBE，abc．3.【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5，3cos5B，可得BC边上的高AD为4，圆O经过点B、C则O必在直线AD上，若O在BC上方，则AO=3，若O在BC下方，则AO=5。【答案】3或5．4.【解析】在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.【答案】解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t-11．（2）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝311；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．所以，点A出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切．5.【解析】①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．【答案】（1）(31)E，；(12)F，．（2）在RtEBF△中，90B，2222125EFEBBF．设点P的坐标为(0)n，，其中0n，顶点(12)F，，设抛物线解析式为2(1)2(0)yaxa．①如图①，当EFPF时，22EFPF，221(2)5n．解得10n（舍去）；24n．(04)P，．24(01)2a．解得2a．抛物线的解析式为22(1)2yx②如图②，当EPFP时，22EPFP，22(2)1(1)9nn．解得52n（舍去）．③当EFEP时，53EP，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2yx．（3）存在点MN，，使得四边形MNFE的周长最小．如图③，作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连接EF，分别与x轴、y轴交于点MN，，则点MN，就是所求点．(31)E，，(12)FNFNFMEME，，，．43BFBE，．FNNMMEFNNMMEFE22345．又5EF，55FNNMMEEF，此时四边形MNFE的周长最小值是55．Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD＝2OB＝4OA＝4，得A（0，－1），B（－2，0），D（－4，0）．设一次函数解析式为y＝kx＋b．点A，B在一次函数图象上，∴,02,1bkb即.1,21bk则一次函数解析式是.121xy点C在一次函数图象上，当4x时，1y，即C（－4，1）．设反比例函数解析式为myx．点C在反比例函数图象上，则41m，m＝－4．故反比例函数解析式是：xy4．点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。【例2】（武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D.（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结AO2、FG，那么FG·AO2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。解（1）直线l经过点A（－12，0），与y轴交于点（0，123－），设解析式为y＝kx＋b，则b＝123－，k＝3－，所以直线l的解析式为y3x123＝－－.（2）可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12－53＝30－533，所以直线l平移的速度为每秒（6－33）个单位。（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AEO2于是可得：222FGEG1OEEGOEAO2＝（其中＝）所以FG·AO2＝21EG2，即其值不变。点拨：因为⊙O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．【例3】（衢州，14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，