布朗运动及随机分析

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Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose1BSEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose2BackgroundBrownianmotionBMMarkovBMEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose3:fB(t);t0gBMWiener1.B(0)=02.B(t)3.t0;B(t)N(0;2t)4.t!B(t)B(t)N(t;2t)B(t)BMEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose4BMB(t)2=1BM2,1;B(t)BMBMGauss0C(s;t)=EB(s)B(t)=2min(s;t)MarkovfB(t);t0gBM,:1.B(0)=02.B(t)3.ts0;B(t)B(s)N(0;2(ts))4.t!B(t)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose5,B(0)=0BMBx(t)xBMBM()0BMBMBrown1827Einstein1905BMB(t)BMxBMx0X(0)=x0p(x;tjx0)X(0)=x0X(t)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose6Einsteinp(x;tjx0)@p@t=D@2p@x2p(x;tjx0)=1p2(2D)texpf1(2D)2t(xx0)2gWiener1918BMBMBMBM2=1Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose7B(t)BMn0t1t2tn;ft1t2tn(x1;x2xn)(B(t1);B(t2);;B(tn))ft1t2tn(x1;x2xn)=pt1(x1)pt2t1(x2x1)ptntn1(xnxn1)pt(x)=1p2tex22t:BMnBM(fX(t);t2Tg;ti2T;i=1;2;:::;n;X(t1);X(t2);:::;X(tn)nfX(t);t2Tg)fB(t);t0gB(0)=0;8s;t0;EB(t)=0;E[B(t)B(s)=t^s];fB(t);t0gBMEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose8BMfB(t);t0gBM1.B1(t)=B(t);t0()2.B2(t)=8:tB(1=t);t00;t=0Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose93.B3(t)=cB(t=c2),c0;()4.B4(t)=B(t+h)B(t);h0;()BM.(B1(t);;Bn(t))nBMB1(t);;Bn(t)BM(2=1).BM1BMEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose10t;BMB(t)[0;t]t.6.2BMfB(t);t0gBM1.fB(t);t0g;2.fB2(t)t;t0g;3.feB(t)122t;t0g;(3)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose112BMfX(t)gfX2(t)tgfX(t)gBM.0tt,BMEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose122.Ta=infft:t0;B(t)=agBMaP(Tat)P(B(t)a)=P(B(t)ajTat)P(Tat)+P(B(t)ajTat)P(Tat)P(B(t)ajTat)=0;BMP(B(t)ajTat)=P(B(t)ajTat)=1=2Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose13P(Tat)=2P(B(t)a)a0P(Tat)=2p2tZ+1aeu22tdu=r2Z+1aptex22dx=2(1(apt))a0BMP(Tat)=P(Tat),Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose14a,P(Tat)=2(1(jajpt))t!1,P(Ta1)=1;Ta,ETa=1:BM,aBMfa+B(t)gPafTx1g=P0fTxa1g=1;BMx1BM:axb;=Ta^Tb,Px(1)=1;Ex1Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose15M(t)=max0stfB(s)gm(t)=min0stfB(s)gBM[0;t]M(t);m(t)fTatg=fM(t)agx0;P(m(t)x)=2P(B(t)x)=2P(B(t)x)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose16Proof:P(m(t)x)=P(max0stfB(s)gx)=2P(B(t)x)=2P(B(t)x)=2P(B(t)x)???TBM[0;1]TEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose17Bx(t)xBMBx(t)(0;t)jxjp2Zt0u32ex22uduProof:x0;Bx(t)Pf(Bx)3(0;t)k”:g=Pfmax0stBx(s)0gBx(t)=B(t)+x;Pfmax0stBx(s)0g=P(max0stfB(s)+x0g)=P(max0stfB(s)gx)=2P(B(t)x)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose18x0BMBMBy(t)(t1;t2)2arccosrt1t2By(t)BMBy(t)(t1;t2)2arcsinrt1t2Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose19Lt=maxfst;B(s)=0glt=minfst;B(s)=0gBMtt(Lt;lt),P(Ltx);P(lty);P(Ltx;lty)P(Ltx)=pfBhasnozeropointin(x;t)g=2arcsinrxtP(Ltx;lty)=pfBhasnozeropointin(x;y)g=2arcsinrxyEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose20BM:1.BrownB(t)=B(t)tB(1);0t11.B(t)Gauss2.E[B(t)]=0,E[B(t)B(s)]=s(1t);80st1Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose212.BMX(t)=jB(t)j;0tx0PfX(t)xg=PfB(t)xgPfB(t)xg=2PfB(t)xg1x0,PfX(t)xg=0,1.X(t)EX(t)=q2t,VarY(t)=t2tEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose223.BMX(t)=eB(t);t01.X(t)EX(t)=EeB(t)=et=2,2.VarX(t)=e2tetEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose234.BMX(t)=Zt0B(s)ds;t01.X(t)GaussMarkov2.E[X(t)]=0,3.E[X(t)X(s)]=s2(t2s6)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose245.BMX(t)=8:B(t);tTxx;tTxX(t)x0;P(X(t)y)???yx,P(X(t)y)=1;y=x,P(X(t)=x)=P(Txt)=2p2tR1xeu22tdu;Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose25yx,(X(t)y)=(B(t)y;max0stB(s)x);P(X(t)y)=P(B(t)y)P(B(t)y;max0stB(s)x):P(B(t)y;max0stB(s)x)=P(B(t)yjmax0stB(s)x)P(max0stB(s)x)=P(B(t)2xyjmax0stB(s)x)P(max0stB(s)x)=P(B(t)2xy;max0stB(s)x)=P(B(t)2xy)Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose26P(X(t)y)=P(B(t)y)P(B(t)2xy)=P(B(t)y)P(B(t)y2x)=1p2tZyy2xeu22tduEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose276.BMX(t)=t+B(t);t0X(t)=t+B(t);t0BMa;b0;bxa;Ta=minft:t0;X(t)=ag;Tb=minft:t0;X(t)=bgP(TaTb1jX(0)=x)=e2be2xe2be2aEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose28X(t)=t+B(t);t0BM,0;Pfmax0t1X(t)ajX(0)=0g=e2aEmail:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePrevPageNextPageLastPageClose29BS:S(t)=X(0)˙exp(t+B(t))(STK)+????,rertS(t)=X(0)˙exp((r)t+B(t))Email:hyzhang69@nankai.edu.cnFirstPagePre

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