第三章正弦交流电路(精)

第三章:正弦交流电路电力系统中,所有电源都是同一频率的正弦交流电源,电路各处电压和电流也都是同一频率的正弦函数,这类电路称为正弦电流电路,简称为交流电路。电路分析的依据：电路的基本定律和元件电压与电流的关系。电路分析的方法：相量法：用相量表示正弦量，将电路运算转换为复数运算的方法。本章内容包括：⑴正弦量及其相量表示法。⑵正弦电流电路的基本性质和基本定律。⑶正弦电流电路的分析计算方法。⑷正弦电流电路的功率§3.1正弦量一、时变的电压和电流随时间变化的电压和电流称为时变的电压和电流。瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值。表示为u（t）、i（t）。简写为u、i。周期量：时变的电压和电流的每个值经过相等的时间间隔后循环出现。周期（T）：周期量变化一个循环需要的时间。单位：秒（S）频率（f）：每秒钟变化的循环数。单位：赫（HZ）T1fuuuiiittt000TTT2T2T2Tab(2)tsinItimf2T2s02.0501f1T二、正弦量的三要素s/rad3145014.32f2正弦电流的瞬时值解析式波形图tωtTIm-imi01.振幅Im最大的瞬时值2.角频率ω(ωt+φ)称为正弦量的相位角,简称相位。ω称为角频率。单位：rad/s正弦量的ω、T、f三者的关系工频正弦量为50HZiφ2Tπ(3)3.初相位t=0的瞬间为正弦量的计时起点,t=0时正弦量的相位称为正弦量的初相位,简称初相(ωt+Ф)|t=0=Ф;t=0时正弦量的值称为正弦量的初始值i(t)=ImsinФωtωtωtωt0000i(t)=Imsin(ωt+90°)i(t)=Imsin(ωt)i(t)=Imsin(ωt+30°)i(t)=Imsin(ωt－30°)初相的绝对值不超过π初始值为正时初相为正初始值为负时初相为负正弦量的三要素同一正弦量参相反时考方向时最大值、角频率、初相π/2π/6π/6tsinItsinImm正弦量tsinItimA30t314sin10A303.57002.0314sin10tiA14.966sin1030t314sin10ti18030t314sin10A150t314sin101503.57002.0314sin10tiA14.9114sin10已知电路ab的正弦电流振幅为10A,频率为50HZ,当电流的参考方向由a到b时,初相角为30°。⑴试写出电流的解析式，画出波形图，并求t=0.002s时的瞬时值;⑵如电流的参考方向改为由b到a,写出电流的解析式,画出波形图,并求出t=0.002s时的瞬时值。0iωt0iωt解：⑴⑵当t=0.002s时当t=0.002s时ababii30°150°(4)11m1tsinIti22m2tsinIti21tt210＞21021902121三、相位差设：相位差两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相差。规定：180电流i1超前电流i2称为相位正交称为相位反相电流i1与电流i2同相i1i2φφ2φ1iωt0i1iωti20i1iωti20iωti1i20例题60tsin10ti1150tsin5ti22101506021150210360设有两个同频率的正弦电流A,问哪一个电流超前,超前电流是多少？A,解:i1(t)i2(t)iωt060°150°210°150°360°i2超前i1150°(5)TRI2T02dtiT1IT022mdttsinIT1IT02mdtt2cos121IT1mmI707.02II414.1I2ImU414.1U2UmE414.1E2EmtsinI2tiV22023102UUmtsinUtumt314sin310V8.250003.0314sin310tu四、周期量和正弦量的有效值周期量电流的有效值正弦电流的有效值周期量的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根规定：有效值用大写字母表示有效值、振幅都是绝对值同理或例：已知u（t）=Umsin（ωt），Um=310Vf=50HZ，求有效值和t=0.003s时的瞬时值。当f=50HZ时，ω=2πf=314rad/sdtRiT02§3.2正弦量的相量表示法一、旋转因子与旋转矢量ejωt是模等于1,辐角为ωt的一个变量的特殊复数0+j+1tjeωt1ωj1-1-j11ejωt称为旋转因子tjtjjtjeeeAejeA是一个模等于ρ,辐角为φ的复数是复指数函数0+j+1φρAejωtωt+φAejωt又称为旋转矢量Aω(2)tsinItimtsinjItcosIeImmtjmtjmmeIImtsinIti二、用相量表示正弦量mjmmIeIIIIeIj设有正弦电流复指数函数+j+1ωt1ωt2φiωt0ωt1+φωt2+φωtjmeI正弦电流的振幅相量正弦电流的有效值相量Imφ正弦量的相量表示法A30tsin4.141tiV60tsin1.311tuA301003024.141IV602206021.311Ui+–u图中正弦电流为正弦电压为试用相量表示电流、电压并作相量图。U+–I解U+–IIUU–I–如果+j+10A150100II1V120220UU130°60°150°120°(3)三、用相量求正弦量的和与差A45tsin27.70ti1A30tsin24.42ti2A457.70I1A304.42I2304.42457.70III212.21j7.3650j50A4.184.918.28j7.86A4.18tsin24.91ti正弦量用相量表示后，同频率正弦量的相加减运算就变成相量相加减运算。相量之间的相加减运算可按复数运算法则进行。例已知解求i1（t）、i2（t）之和。+j0+1+j0+11I1I2I2I21II21II45°18.4°30°2I2121IIII如2I21II§3.3相量形式的基尔霍夫定律0I一、相量形式的KCL连接在电路任一结点的各支路电流的相量的代数和为零。一般对参考方向流出结点的电流相量取正，反之取负。二、相量形式的KVL在正弦电流电路中，任一回路的各支路电压的相量的代数和为零。0U参考方向与饶行方向一致的电压相量取正，反之取负。§3.4正弦电流电路中的电阻一、电压与电流的关系itsinI2tiitsinRI2tRituutsinU2iuRIUiR+－u设iuIRU也可写作UGI相量关系RIU有效值关系相位关系iuuiωt0相量图IUI+－U波形图R则（2）titutptsinI2tsinU2tptsinUI22t2cosUIUIdttpT1pT0dtt2cosUIUIT1pT0dtt2cosUIT1UIdtT1T0T0222GURURIUIP二、功率1.瞬时功率2.平均功率瞬时功率在一个周期里的平均值。电路任一瞬间吸收或消耗的功率。0pωtiupUI§3.5电感元件一、线性电感元件LiiL电感元件是实际电感器的理想化模型,它表征电感器的主要物理性能。iψNψi自感磁链主要物理性能:建立磁场并储存磁场形式的能量。线性电感元件：磁链与电流的大小成正比关系。自感：单位：亨（H）ψi0当i与Ψ为关联参考方向时（i与Ψ的参考方向符合右螺旋法则）L（2）二、电感元件的电压电流关系dtde根据法拉第电磁感应定律dtdiLedtdiLdtdedtdiLu用楞次定律确定感应电动势的方向ii＞0，dtd＞0，ueabe＜0dtdii有i＞0，dtdi＜0，e＞0＞0，当dtd＜0，dtdiLdtde有Le∴u=－e（3）三、电感元件的磁场能量dtdiLiuipLidipdtdW2i0Li21LidiW在电压与电流取关联参考方向下,电感吸收的功率为在dt时间内,电感元件磁场中的能量增加量为电流由0增大到i时,电感元件储存的磁场能量为电感元件是一种储能元件,又是一种无源元件。§3.6正弦电流电路中的电感dtdiLuitsinI2tiitsinI2dtdLtuitcosLI22tsinLI2iutsinU2LIU2iu2LIUiu一、电压与电流的关系Li+－u设则有效值关系相位关系相量关系式ILjULjXIU+－UI相量图正弦电流电路中的电感波形图LXLIUL1X1BLLUjBILiuuiωt02感抗:电压与电流有效值之比单位:欧(Ω)对于直流ω=0,XL=ωL=0,相当与短路。当ω→∞时，XL→∞，相当于开路。引入感抗后IjXUL感纳：感抗的倒数。单位：S正弦交流电路中的电感二、功率tsinI22tsinU2titutpt2sinUItcostsinUI2dttpT1pT00dtt2sinUIT1T0L2L2XUXIUIQ1.电感吸收的瞬时功率2.平均功率3.无功功率iuuiωt0p单位：var（乏）2无功功率等于瞬时功率的最大值，反映了储能元件与外电路交换能量的规模。工程上将具有2相位差的电压与电流的有效值的乘积称为无功功率UI正弦电流电路中的电感V120t314sin2220tuV120220UA150876.0120876.0251j120220jXUILA150t314sin2876.0tivar7.192876.0220UIQ一个0.8H的电感元件接到电压为的电源上,(1)试求电感元件的电流表达式和无功功率;(2)如电源的频改为150HZ,电压有效值不变,电感元件的电流和无功功率各为多少？解(1)电压相量为感抗为XL=ωL=314×0.8=251Ω(2)∵XL1=3XL∴I1=I/3=0.876/3=0.292AQ1=Q/3=192.7/3=64.2var§3.7电容元件Cuq一、线性电容元件电容元件是实际电容器的理想化模型,它表征电容器的主要物理性能。+—u++++uqC————电荷与电压的大小成正比关系Ci-q+qu0qu电容元件的电容单位：F（法）主要物理性能：建立电场并储存电场形式的能量。线性电容：电容元件11CCqu22CCquqC1C1uuu212C1CCqC1uC21C1C1C1n1kkC1C1uCCCCCuCqu212111CuCCCu2112C二、电容元件的串并联1.串联–uC+uC1–+uC2+–C2C1+–uCC+q-q+q-q+q-q有可得:n个电容串联时电容电压为电容元件uqquqC21C21C2C21C1CCuuCuCn1kkC