第十一章 弹性波

2概述§1-1弹性体的运动微分方程§11-2无旋波与等容波§11-3横波与纵波§11-4球面波第十一章弹性波3概述当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动就称为弹性波。本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程，然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。4§11-1弹性体的运动微分方程上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。本章仍然采用如下假设：（1）弹性体为理想弹性体。（2）假定位移和形变都是微小的。5对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:其中ρ为弹性体的密度。22tu22t22tw6由平衡关系，并简化后得：上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。022tuXzyxzxyxx022tYxzyxyzyy022twZyxzyzxzz7注1：几何方程xuxyyzwzzywyzxwzuzxyuxxy8注2：物理方程)]([1zyxxE)]([1xzyyE)]([1yxzzEyzyzE)1(2zxzxE)1(2xyxyE)1(29由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：得：zwyxue0)211()1(2222tuXuxeE0)211()1(2222tYyeE0)211()1(2222twZwzeE10这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为拉密（Lame)方程。要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为：)211()1(2222uxeEtu)211()1(2222yeEt)211()1(2222wzeEt11§11-2无旋波与等容波一、无旋波所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：xuyzw其中是位移的势函数。这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。),,,(tzyx12[证]：在弹性体的任一点处，该点对z轴的旋转量即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。yuxz将代入，可得：xuy0z同理0x0y13在无旋位移状态下2zwyxue从而uxxxe222同理2yewze2将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程14uctu2212222122ctwctw22122)21)(1()1(1Ec其中1c就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度15所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应变为零。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。二、等容波假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：0zwyxue这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性波就是等容波。16由于，故不计体力的运动微分方程，简化后得等容波的波动方程：0euctu2222222222ctwctw22222其中)1(22Ec就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。2c17对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相同的方式与速度进行传播。18一、纵波[定义]弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）纵波的传播形式§11-3纵波与横波19将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有：),(txuu00w从而xue而22xuxe0ye0ze222xuu0202w20代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为恒等式，而第一式简化为：222122xuctu其中)21)(1()1(1Ec为纵波在弹性体中的传播速度。1c显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是一种无旋波。21纵波波动方程的通解是：)()(),(1211tcxftcxftxu该通解的物理意义：以其第一项为例，函数在某一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示（假设是这种形状），在时间之后，函数变为：)(11tcxft)(111tctcxf如果令，则函数可写为，其形式同原函数完全类同，只是横坐标发生平移tcxx11)(111tcxf)(11tcxftc1见图。因此表示以速度向x轴正向传播的波。)(11tcxf1c22同理，表示以同样速度向x轴负向传播的波。整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其传播速度为波动方程的系数。1c)(12tcxf1c1fcabx(a)(b)tc1tc1tc123二、横波[定义]弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。横波的传播形式24仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则弹性体内任取一点的位移分量都有0u),(tx0w从而0e而02u222x02w代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒等式，第二式简化为：222222xct)1(22Ec2c为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变25横波的波动方程的通解为：，故横波为等容波。0e)()(),(2221tcxftcxftx显然，整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波，它的位移沿着y方向，而传播方向是沿着x方向，传播速度等于常量。2c26§11-4球面波如果弹性体具有圆球形的孔洞或具有圆球形的外表面，则在圆球形孔洞或圆球形外表面上受到球对称的动力作用时，由孔洞向外传播或由外表面向内传播的弹性波，称为球面波。球面波是球对称的。利用球对称的基本微分方程：0)22()21)(1()1(2222rrrrkurdrdurdrudE此时，，而不计体力时，用径向惯性力),(truurr22tur代替，rk27则上式简写成即得：0)22()21)(1()1(22222turururruErrrr令：)21)(1()1(1Ec假定rur则是位移的势函数。代入（a）式得),(tr0122222122tucrururrurrrrr（a）28所以（b）式可写成由于rrrrrrrrr2212233222222trrt0122222122233rtcrrrrr（b）011222122trcrrrr29它的通解是：对r积分一次，得：tFtcrrr22212211由于令F(t)=0，并不会影响位移，因此上式可简写成为：rurrcrt222122tcrftcrfr1211显然，球面波的传播速度等于(球面波是无旋波）。表示由内向外传播的球面波，表示由外向内传播的球面波。1c1f2f30练习11.1什么是弹性波？研究弹性波有何意义？答：（略）练习11.2已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m3,混凝土的弹性模量E=30GPa，密度=2400kg/m3,问在此两种材料杆中纵波的传播速度。解：由纵波在一维直杆中的传播速度公式smvsmv/3500,/5130混凝土钢Ev得31