第十一章-曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章曲线积分与曲面积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(yx，试求该构件的质量.二、第一类曲线积分的定义与性质性质1设，为常数，则LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),()],(),([；性质2设L由1L和2L两段光滑曲线组成(记为L21LL)，则.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf注：若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.性质3设在L有),(),(yxgyxf，则dsyxgdsyxfLL),(),(性质4（中值定理）设函数),(yxf在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点),(，使sfdsyxfL),(),(其中s是曲线L的长度.三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(ttyytxxdttytxtytxfdsyxfL)()(])(),([),(22(1.10)如果曲线L的方程为bxaxyy),(，则dxxyxyxfdsyxfbaL)(1])(,[),(2(1.11)如果曲线L的方程为dycyxx),(，则dyyxyyxfdsyxfdcL)(1]),([),(2(1.12)如果曲线L的方程为),(rr，则drrrrfdsyxfL)()()sin,cos(),(22例5（E03）计算,||Ldsy其中L为双纽线（图10-1-4）)()(222222yxayx的弧.解双纽线的极坐标方程为.2cos22ar用隐函数求导得,2sin,2sin22rararr.2sin2224222dradrardrrds所以.)22(2sin4sin4||2402402adadrardsyL内容要点一、引例：设有一质点在xOy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中，这质点受到力jyxQiyxPyxF),(),(),((2.1)的作用，其中),(yxP，),(yxQ在L上连续.试计算在上述移动过程中变力),(yxF所作的功.二、第二类曲线积分的定义与性质：jyxQiyxPyxA),(),(),(LLdsQPdstA)coscos(平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是LdyyxQdxyxP),(),(LLdyyxQdxyxP),(),(性质1设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的有向曲线弧，则LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如设L由1L和2L两段光滑曲线组成，则21LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx.三、第二类曲线积分的计算：),(txx),(tyyLdyyxQdxyxP),(),(dttytytxQtxtytxP)}()](),([)()](),([{.(2.9)如果曲线L的方程为),(xyy起点为a,终点为b，则.)}()](,[)](,[{baLdxxyxyxQxyxPQdyPdx如果曲线L的方程为),(yxx起点为c,终点为d，则.]}),([)(]),([{dcLdyyyxQyxyyxPQdyPdx内容要点一、格林公式定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(yxP及),(yxQ在D上具有一阶连续偏导数，则有LDQdyPdxdxdyyPxQ(3.1)其中L是D的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令,,xQyP得LDydxxdydxdy2，上式左端是闭区域D的面积A的两倍，因此有.21LydxxdyA二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2设开区域D是一个单连通域，函数),(yxP及),(yxQ在D内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1）曲线积分LQdyPdx在D内与路径无关；（2）表达式QdyPdx为某二元函数),(yxu的全微分；（3）xQyP在D内恒成立；（4）对D内任一闭曲线L，0LQdyPdx.由定理的证明过程可见，若函数),(yxP，),(yxQ满足定理的条件，则二元函数),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu(3.3)满足dyyxQdxyxPyxdu),(),(),(，我们称),(yxu为表达式dyyxQdxyxP),(),(的原函数.CdyyxPdxyxPyxuyyxx00),(),(),(0或CdyyxPdxyxPyxuyyxx00),(),(),(0例4计算,2dxdyeDy其中D是以)1,0(),1,1(),0,0(BAO为顶点的三角形闭区域.解令,0P,2yxeQ则yPxQ.2ye应用格林公式,得dxdyeDy2BOABOAydyxe2OAdyxey2102dxxex).1(211e例5（E03）计算,22Lyxydxxdy其中L为一条无重点)1(,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解记L所围成的闭区域为,D令,22yxyP,22yxxQ则当022yx时，有xQ22222)(yxxy.yP(1)当D)0,0(时，由格林公式知;022Lyxydxxdy(2)当D)0,0(时，作位于D内圆周,:222ryxl记1D由L和l所围成,应用格林公式，得Llyxydxxdyyxydxxdy.02222故Lyxydxxdy22lyxydxxdy222022222sincosdrrr20d.2例6（E04）求椭圆cosax，sinby所围成图形的面积A.解所求面积ALydxxdy212022)sincos(21dabab2021dab.ab例7计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围成的面积.解ONA为直线.0y曲线AMO为,xaxy].,0[axAAMOydxxdy21AMOONAydxxdyydxxdy2121AMOydxxdy210)(1221adxxaxdxaxaxadxxa04.612a例10（E06）计算,)8,6()0,1(22yxydyxdx积分沿不通过坐标原点的路径.解显然,当)0,0(),(yx时，22yxydyxdx,22yxd于是)8,6()0,1(22yxydyxdx)8,6()0,1(22yxd)8,6()0,1(22yx.9例12验证:在整个xOy面内,ydyxdxxy22是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.证2利用原函数法求全微分函数).,(yxu由2xyyu),(2222yyxdxxyu其中)(y是y的待定函数.由此得).(2yyxyu又u必须满足yxyu2yxyyx22)('0)('y,)(Cy所求函数为.2/22Cyxu例13（E07）设函数),(yxQ在xoy平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意t,总有,),(2),(2),1()0,0()1,()0,0(ttdyyxQxydxdyyxQxydx求).,(yxQ解由曲线积分与路径无关的条件知,2xxQ于是),(),(2yCxyxQ其中)(yC为待定函数.dyyxQxydxt),(2)1,()0,0(102))((dyyCt,)(102dyyCtdyyxQxydxt),(2),1()0,0(tdyyC0))(1(,)(0tdyyCt由题意可知102)(dyyCt.)(0tdyyCt两边对t求导,得)(12tCt或.12)(ttC所以.12),(2yxyxQ例14（E08）设曲线积分Ldyxydxxy)(2与路径无关,其中具有连续的导数,且,0)0(计算.)()1,1()0,0(2dyxydxxy解),(yxP,2xy),(yxQ),(xyyP)(2xyy,2xyxQ)]([xyx).('xy因积分与路径无关散,xQyP由xyxy2)('.)(2Cxx由,0)0(知0C.)(2xx故)1,1()0,0(2)(dyxydxxy10100ydydx.21例15选取ba,使表达式dyeyxbedxaeeyxyxyy])1([])1[(为某一函数的全微分,并求出这个函数.解yP])1[(yyaeeyxy,yyaeexQ])1([yxeyxbex,yxebe若表达式全微分式,则,xQyP即.yxyxebeaee得,1a.1b),(yxuxxdxeex00])1()10[(yyxCdyeyxe0])1([Cdyeyxedxexyyyxx00])1([]1)1[(Cyexeyexxeyyyxxx00][][.))((Ceeyxyx例16（E09）求方程0)3()3(2323dyyxydxxyx的通解.解,6xQxyyP原方程是全微分方程,yxdyydxxyxyxu03023)3(),(,42344224yyxx原方程的通解为.42344224Cyyxx例19求微分方程0)1(222dyyxdxyxx的通解.解将题设方程改写为,02222dyyxdxyxxxdx即,0)()(2222dyyxxdyxxd将方程左端重新组合,有,0)()(222yxdyxxd故题设方程的通解为.)(322/322Cyxx内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1设曲面是光滑的,函数),,(zyxf在上有界,把任意分成n小块iS(iS同时也表示第i小块曲面的面积),在iS上任取一点),,,(iii作乘积),,2,1(),,(niSfiiii并作和,),,(1niiiiiSf如果当各小块曲面的直径的最大值0时,这和式的极限存在,则称此极限值为),,(zyxf在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(其中),,(zyxf称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf例4计算,dSxyz其中为抛物面).10(22zyxz解根据抛物面22yxz对称性,及函数||xyz关于yOzxOz、坐标面对称,有dxdyyxyxxyxyzdSdSxyzxyD2222)2()2(1)(4412010251022220412sin241sincos4drrrtdtrdrrrttrdt.420151254141512duuu例5计算,xdS其中是圆柱面,122yx平面2xz及0z所围成的空间立体的表面.解，＝32112，在xOy面上得投影域.1:22y