等差等比数列知识点梳理及经典例题

数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师1A、等差数列知识点及经典例题一、数列由na与nS的关系求na由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。〖例〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师2二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，1()(2)nnaadn常数，第二种是利用等差中项，即112(2)nnnaaan。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列{na}的通项公式为n的一次函数，即na=An+B,则{na}是等差数列；（2）前n项和法：若数列{na}的前n项和nS是2nSAnBn的形式（A，B是常数），则{na}是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例〗已知数列{na}的前n项和为nS，且满足111120(2),2nnnnSSSSna（1）求证：{1nS}是等差数列；（2）求na的表达式。分析：（1）1120nnnnSSSS1nS与11nS的关系结论；（2）由1nS的关系式nS的关系式na解答：（1）等式两边同除以1nnSS得11nS-1nS+2=0，即1nS-11nS=2（n≥2）.∴{1nS}是以11S=11a=2为首项，以2为公差的等差数列。数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师3（2）由（1）知1nS=11S+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴nS=12n,当n≥2时，na=2nS·1nS=12(1)nn。又∵112a，不适合上式，故1(1)21(2)2(1)nnannn。【例】已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前n项和Sn满足2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________．∵a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p，即2＝2p＋1－p，得p＝1.于是2Sn＝2a2n＋an－1.当n≥2时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a2n－2a2n－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－12)＝0.又∵an0，∴an－an－1＝12，于是{an}是等差数列，故an＝1＋(n－1)·12＝n＋12.（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式na=1a+（n-1）d及前n项和公式11()(1)22nnnaannSnad，共涉及五个量1a，na，d,n,nS,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为11(1)222nSdddnaann，故数列{nSn}是等差数列。〖例〗已知数列{nx}的首项1x=3，通项2(,,)nnxpnqnNpq为常数，且1x，4x，5x成等差数列。求：（1）,pq的值；（2）数列{nx}的前n项和nS的公式。数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师4分析：（1）由1x=3与1x，4x，5x成等差数列列出方程组即可求出,pq；（2）通过nx利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由1x=3得23pq……………………………………①又454515424,25,2xpqxpqxxx且，得5532528pqpq…………………②由①②联立得1,1pq。（2）由（1）得，nxnn2（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。★2、等差数列的简单性质：略典型例题1．等差数列na中,若100,252nnSS，则nS3225；2.（厦门）在等差数列na中，284aa,则其前9项的和S9等于（A）A．18B27C36D93、（全国卷Ⅰ理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=244、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(C)(A)130(B)170(C)210(D)1605.(湖北卷)已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（D）A．2B．3C．4D．56、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师5即an＋1＋3an＋3＝2.所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|的值等于________．如图所示，易知抛物线y＝x2－2x＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA＝14，则xD＝74.又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝34，xC＝54.故|m－n|＝|14×74－34×54|＝12.8、在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝59.∴数列{an}为递增数列．令an≤0，∴－3＋(n－1)·59≤0，∴n≤325，∵n∈N*.∴前6项均为负值，∴Sn的最小值为S6＝－293.6.若两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且满足733nnSnTn，则88ab6.数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师67．（北京卷）（16）（本小题共13分）已知na为等差数列，且36a，60a。（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）若等差数列nb满足18b，2123baaa，求nb的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d。因为366,0aa所以112650adad解得110,2ad所以10(1)2212nann（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q因为212324,8baaab所以824q即q=3所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13)1nnnbqSq★等差数列的最值：若{}na是等差数列，求前n项和的最值时，（1）若a10,d0,且满足100nnaa，前n项和nS最大；（2）若a10,d0，且满足100nnaa，前n项和nS最小；（3）除上面方法外，还可将{}na的前n项和的最值问题看作nS关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。〖例〗已知数列{}na是等差数列。（1）若,(),;mnmnanammna求（2）若,(),.mnmnSnSmmnS求数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师7解答：设首项为1a，公差为d，（1）由,mnanam，1nmdmn∴()(1)0.mnmaamnmdnn（2）由已知可得11(1)2,(1)2nnmnadmmnmad解得221.2()nmmnmnamnmndmn1()(1)()()2mnmnmnSmnadmn【例】已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn1.(1)解①当n＝1时，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.②当n≥2时，由2Sn＝3an－3得，2Sn－1＝3an－1－3.两式相减得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比数列，∴an＝3n.验证：当n＝1时，a1＝3也适合an＝3n.∴{an}的通项公式为an＝3n.(2)证明∵bn＝1log3an·log3an＋1＝1log33n·log33n＋1＝1(n＋1)n＝1n－1n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋11.等差数列习题1.设｛an｝为等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛Snn｝的前n项数，求Tn．2．已知数列na是等差数列，其前n项和为nS，12,633Sa．（１）求数列na的通项公式；（２）求nSSS11121．12.解：设数列｛an｝的公差为d，则Sn＝na1＋12n（n－1）d．数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师8∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝715a1＋105d＝75，∴a1＝－2d＝1∴Snn＝a1＋12·（n－1）d＝－2＋12·（n－1）∴Sn+1n＋1－Snn＝12∴数列｛Snn｝是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴Tn＝n·(－2)＋n（n－1）2·12＝14n2－94n．14．解：（１）设数列na的公差为ｄ，由题意得方程组1222336211dada，解得221da，∴数列na的通项公式为ndnaan2)1(1，即nan2．（２）∵nan2，∴)1(2)(1nnaanSnn．∴nSSS11121)1(1321211nn111)111()3121()2111(nnn．B、等比数列知识点及练习题等比数列及其前n项和（一）等比数列的判定判定方法有：（1）定义法：若11()()nnnnaaqqqqaa为非零常数或为非零常数且n2，则na是等比数列；（2）中项公式法：若数列na中，2120()nnnnaaaanN且，则数列na是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)nnacqcqnN均为不为的常数，，则数列na是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列na的前n项和(0,0,1)nnSkqkkkq为常数且，则数列na是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师9〖例〗在数列na中，112,431,nnaaannN。（1）证明数列nan是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS；（3）证明不等式14nnSS对任意nN皆成立。解答：（1）由题设1431,nnaan得1(1)4(),nnanannN。又111,a所以数列nan是首项为1，且公比为4的等比数列。（2）由（1）可知14nnan，于是数列na的通项公式为14nnan。所以数列na的前n项和141(1)32nnnnS。（3）对任意的nN，12141(1)(2)41(1)144[]