《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

第1页共7页《因式分解》全章复习与巩固（提高）撰稿：康红梅责编：李爱国【学习目标】1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3.了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：22ababab2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即2222aabbab，2222aabbab.形如222aabb，222aabb的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.第2页共7页（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2xbxc，若存在pqcpqb，则2xbxcxpxq分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)222284abcacabc；(2)32()()()()mmnmmnmmnmn．【答案与解析】解：(1)2222842(42)abcacacbacabccb．(2)32()()()()mmnmmnmmnmn2()[()()()]mmnmnmnmn22()(22)mmnmmnnn．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．第3页共7页２、利用分解因式证明：712255能被120整除．【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：712255＝721255＝141255＝122551＝12524＝115524＝115120∴712255能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：222244xyxyxy，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把xyxy、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把xyxy、看作完全平方式里的,ab；原式＝22222xyxyxyxy＝22xyxy＝23yx．【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把xyxy、看作完全平方式里的,ab是解题的关键．举一反三：第4页共7页【变式】下面是某同学对多项式2242464xxxx进行因式分解的过程．解：设24xxy原式＝264yy（第一步）＝2816yy（第二步）＝24y（第三步）＝22(44)xx（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式222221xxxx进行因式分解．【答案与解析】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）244xx还可以分解，分解不彻底；结果为42x.（3）设22xxy．222221xxxx＝21yy，＝221yy，＝21y2，＝22(21)xx，＝41x．4、计算：(1－212)(1－213)(1－214)…(1－212004)(1－212005)【思路点拨】先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下1200622005.第5页共7页【答案与解析】解：(1－212)(1－213)(1－214)…(1－212004)(1－212005)＝2222222221314120051......2342005＝1200622005＝10032005．【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解．举一反三：【变式】设22131a，22253a，…，222121nann（n为大于0的自然数）．（1）探究na是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a，2a，…，na，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，na为完全平方数（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵222221214414418nannnnnnn，又n为非零的自然数，∴na是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，na为完全平方数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）222222xx（2）2224420xxxx（3）2244634aabbab【答案与解析】解：（1）原式2222212211xxxxxx（2）原式＝222224(4)204544xxxxxxxx第6页共7页2512xxx（3）原式＝223242421abababab【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三：【变式】下列何者是765228321xxx的因式？（）A．2x＋3B．2(117)xxC．5113xxD．627xx【答案】C；解：76552522832122832111327xxxxxxxxx，则2(117)xx是多项式的一个因式．6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，且322344xxyxyy＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把322344xxyxyy＝0化简成22xyxyxy，可得2xy，由题意可得150xy，解方程组2150xyxy即可.【答案与解析】解：∵322344xxyxyy＝0∴224xxyyxy＝0∵22xyxyxy＝0∴2xy，xy，2xy（不合题意，舍去）又由题意可得150xy解方程组2150xyxy解之得，x＝100，y＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．第7页共7页举一反三：【变式】因式分解：221448xyxy，正确的分组是（）A．22(14)(84)xxyyB．22(144)8xyxyC．22(18)(44)xyxyD．221(448)xyxy【答案】D；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22448xyxy正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．