直线的法向量和点法式方程

1.直线的方向向量1v2vOP1P2图1l如图１中，非零向量都是直线的方向向量122112,,,PPPPvvl1.“直线的方向向量”的定义：与直线l平行的非零向量d叫做直线l的一个方向向量;.的方向向量不唯一．直线)1(l的方向向量．，求直线且两点上不同是直线，和，已知点)()()(21212211lyyxxlyxByxA)(1212yyxxd，方向向量2、这些方向向量的位置关系是怎样的？思考：1、一条直线的方向向量是唯一的吗？设直线l上任意一点Q(x,y)探究:已知直线l经过点P(x0,y0),l的一个向量d=(u,v),求这条直线l的方程.oxyQP(x0,y0)d=(u,v)直线lv(x-x0)=u(y-y0,)当uv0时,方程是:00xxyyuv则PQ=(x-x0,y-y0)//d=(u,v)..00v(xx)-u(yy)=0)(,1vyyuxx000xx1.若直线过点P(x0,y0),方向向量为.v)(u,dl*当时,直线的方程是:0v0,ul则.00v(xx)=u(yy)0vul*当时,直线的点向式方程为:*当时,直线的方程是:0v0,ul0yyoxyv)(u,d)y,P(x00l（u,V都不为零）（u,v中只有一个为零）.00v(xx)-u(yy)=0个方向向量。必过的一点和它们的一各直线观察下列方程，并指出.)4(4533yx），（答案：43),5,3(dP），（47),6,4(dP①②)6(7)4(4yx与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量思考：1、一条直线的法向量是唯一的吗？2、这些法向量的位置关系是怎样的？概念形成垂直法概念形成3、同一条直线的方向向量和法向量的位置关系是怎样的？vnn通常用表示(2)0AxByC(,)dBA一个方向向量：问题探究问题探究直线的一个法向量n=(A,B),则直线的一个方向向量v如何表示？(,)BAv(,)BA或v1212两向量a(a,a),b(b,b)垂直的充要条件是01122ab+ab口答练习口答练习nv(2,3)(4,5)xyo画出符合要求的直线图1P01、经过点P0xy画出符合要求的直线图2non2、垂直于非零向量xyo画出符合要求的直线图3nP0n3、既经过点P0又垂直于非零向量公式推导公式推导,nABxyoP0(x0,y0)000已知直线经过点P(x,y)，一个法向量n=(A,B)，求直线的方程l熟记公式,nABxyoP0(x0,y0)直线的点法式方程000直线经过点P(x,y)，一个法向量n=(A,B)，则直线的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)=0熟记公式l公式推导公式推导P(x,y)垂直(x-x0,y-y0)A(x-x0)+B(y-y0)=0,nABPP0PP0PP0xyoP0(x0,y0)直线的点法式方程(1)向量的坐标为：,(2)与n=(A,B)的位置关系是：,(3)与n垂直的充要条件是：,A(x-x0)+B(y-y0)=0n熟记公式熟记公式⑵2(x+3)-4(y－5)=00(3,5)P(2,4)n0(3,5)P(2,4)n⑶-2(x-3)-4(y+5)=00(3,5)P(2,4)nlll根据直线的方程，写出直线经过的一个已知点P0和直线的一个法向量的坐标.⑴2(x-3)+4(y-5)=0学以致用A(x-x0)+B(y-y0)=0例1：求过点P(1,2),且一个法向量为n=(3,4)的直线方程。（x0,y0）（A,B）解：代入直线的点法式方程,得3(x-1)+4(y-2)=0整理得3x+4y-11=0练习1.求过点p，且一个法向量为的直线方程.(1)p(－1，2)，=(3，－4)(2)=(－3,2),P(1，－5)，nnn学以致用例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段AB的垂直平分线方程。Bc分析：用式求直线方程点法点cAB法向量1212,22xxyy2121,xxyy学以致用学以致用中点坐标公式解：中点c的坐标24,23-12,11AB法向量1342，46，-4(x-1)-6(y+1)=02x+3y+1=0整理得oyxl代入直线的点法式方程,得练习：已知点A(？,？)和点B(？,？)求线段AB的垂直平分线方程。学以致用学以致用反思小结2、掌握一个方程——1、理解一个概念——A(x-x0)+B(y-y0)=0——与直线垂直的非零向量反思小结3、利用直线的点法式方程可以解决（1）已知直线上一点和直线的法向量（2）求线段的垂直平分线方程（3）求三角形一边的高线所在直线方程直线的法向量直线的点法式方程布置作业补充（附加）三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)求（1）BC边中垂线方程（2）BC边高线方程（3）BC边中线方程ABCBE布置作业为三角形三个顶点，，、，、，．已知例)63()14()21(1CBA)4,2()1(EAC中点线段解：的一个方向向量是，BElBE)32(中线所在直线方程为：AC3124yx),23,25(FAB中点或的一个方向向量是，FElFE)2521(的点方向式方程是：FEl254212yx中位线的一个方向向量是，BCd)51()2(5412yx：中位线所在直线方程为BC01423yx即的方程；中线所在直线求)1(AC的方程．中位线所在直线求)2(BC0145yx即